Um automóvel parte do repouso e percorre uma estrada retilínea. A velocidade em função do tempo do automóvel é dado pela tabela abaixo:
Tempo (s) Velocidade (m/s)
0 0
2 4
4 8
6 12
8 16
Determine a função horária da posição s(t), sabendo que a posição inicial é s0=0. Qual é a posição do automóvel após 6 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Neste caso, um carro parte do repouso (ou seja, com velocidade inicial zero) e está se movendo em linha reta. A tabela mostra como a velocidade do carro varia com o tempo. Nosso objetivo é descobrir a função horária da posição $ s(t) $, que mostra onde o carro está em qualquer instante de tempo $ t $. Além disso, vamos calcular a posição do carro após 6 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a tabela de velocidades:
Tempo (s) Velocidade (m/s)
0 0
2 4
4 8
6 12
8 16
Observamos que a velocidade aumenta de forma linear com o tempo. Ou seja, a cada 2 segundos, a velocidade aumenta 4 m/s. Isso indica que há uma aceleração constante.
Para encontrar a função horária da posição $ s(t) $, precisamos conhecer a expressão da velocidade $ v(t) $ em função do tempo.

Passo 3

Como a aceleração é constante, podemos determinar a aceleração usando a fórmula:
a = De
Vamos calcular a aceleração usando os valores da tabela. Por exemplo, entre 0 e 2 segundos:
a = 4, m/s - 0, m/s2, s - 0, s = 42 = 2, m/s^2
Confirmando com outros intervalos:
8 - 44 - 2 = 2, m/s^2 12 - 86 - 4 = 2, m/s^2 16 - 128 - 6 = 2, m/s^2
Portanto, a aceleração é constante e igual a $ 2, m/s^2 $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a expressão da velocidade em função do tempo $ v(t) $. Sabemos que:
v(t)
Onde:
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial (que é 0, já que o carro parte do repouso).
  • $ a $ é a aceleração (que calculamos ser $ 2, m/s^2 $).
Substituindo os valores:
v(t) = v0 + a cdot t
Então, a função da velocidade é $ v(t) = 2, t $ m/s.

Passo 5

Para encontrar a função horária da posição $ s(t) $, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo. A relação entre velocidade e posição é dada por:
s(t)
Integrando ambos os lados:
v(t) = ds(t)dt
Onde $ C $ é a constante de integração. Sabemos que a posição inicial é $ s_0 = 0 $ quando $ t = 0 $:
integral v(t), dt = integral ds(t)dt, dt Rightarrow s(t) = integral 2, t, dt = 2 integral t, dt = 2 cdot t^22 + C = t^2 + C
Portanto, a função horária da posição é:
C

Passo 6

Agora, vamos calcular a posição do carro após 6 segundos. Basta substituir $ t = 6 $ na função $ s(t) $:
t = 6

Resposta

A função horária da posição é $ s(t) = t^2 $ metros, e a posição do automóvel após 6 segundos é 36 metros.

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