Um automóvel parte do repouso e percorre uma estrada retilínea. A velocidade em função do tempo do automóvel é dado pela tabela abaixo:
Tempo (s) | Velocidade (m/s) |
---|---|
0 | 0 |
2 | 4 |
4 | 8 |
6 | 12 |
8 | 16 |
Determine a função horária da posição
, sabendo que a posição inicial é
. Qual é a posição do automóvel após 6 segundos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Neste caso, um carro parte do repouso (ou seja, com velocidade inicial zero) e está se movendo em linha reta. A tabela mostra como a velocidade do carro varia com o tempo. Nosso objetivo é descobrir a função horária da posição $ s(t) $, que mostra onde o carro está em qualquer instante de tempo $ t $. Além disso, vamos calcular a posição do carro após 6 segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a tabela de velocidades:
Tempo (s) | Velocidade (m/s) |
---|---|
0 | 0 |
2 | 4 |
4 | 8 |
6 | 12 |
8 | 16 |
Observamos que a velocidade aumenta de forma linear com o tempo. Ou seja, a cada 2 segundos, a velocidade aumenta 4 m/s. Isso indica que há uma aceleração constante.
Para encontrar a função horária da posição $ s(t) $, precisamos conhecer a expressão da velocidade $ v(t) $ em função do tempo.
Passo 3
Como a aceleração é constante, podemos determinar a aceleração usando a fórmula:
Vamos calcular a aceleração usando os valores da tabela. Por exemplo, entre 0 e 2 segundos:
Confirmando com outros intervalos:
Portanto, a aceleração é constante e igual a $ 2, m/s^2 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a expressão da velocidade em função do tempo $ v(t) $. Sabemos que:
Onde:
- $ v_0 $ é a velocidade inicial (que é 0, já que o carro parte do repouso).
- $ a $ é a aceleração (que calculamos ser $ 2, m/s^2 $).
Substituindo os valores:
Então, a função da velocidade é $ v(t) = 2, t $ m/s.
Passo 5
Para encontrar a função horária da posição $ s(t) $, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo. A relação entre velocidade e posição é dada por:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Sabemos que a posição inicial é $ s_0 = 0 $ quando $ t = 0 $:
Portanto, a função horária da posição é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a posição do carro após 6 segundos. Basta substituir $ t = 6 $ na função $ s(t) $:
Resposta
A função horária da posição é $ s(t) = t^2 $ metros, e a posição do automóvel após 6 segundos é 36 metros.