Avalie a convergência da integral
integral0^infty(1+x) e^-x d x

Passo 1

Vamos avaliar a convergência da integral . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções exponenciais e polinomiais. Precisaremos separar a integral em partes mais simples e resolver cada uma delas individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^infty (1 + x) e^-x , dx = integral0^infty e^-x , dx + integral0^infty x e^-x , dx

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^infty e^-x , dx
Sabemos que a integral de integral0^infty e^-x , dx = [ -e^-x ]0^infty = 0 - (-1) = 1 de 0 a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^infty x e^-x , dx
Esta é uma integral conhecida que pode ser resolvida usando a integração por partes ou reconhecendo que é o valor esperado de uma distribuição exponencial. O resultado é:
integral0^infty x e^-x , dx = 1

Resposta

Somando as duas integrais calculadas:
1 + 1 = 2
Portanto, a integral converge e seu valor é 2.

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