Calcule a 2022 a derivada das funções seguintes: k(x) = 1/x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a 2022ª derivada da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas de ordens superiores e a regra do poder. Vamos precisar entender como derivar funções com potências negativas e identificar um padrão para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que facilite a derivação. A função pode ser escrita como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar a regra do poder: se temos , então a primeira derivada é . Vamos aplicar essa regra várias vezes para encontrar as derivadas sucessivas.

Passo 4

Vamos calcular as primeiras derivadas para ver se aparece um padrão:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
Viu como os coeficientes estão alternando de sinal e aumentando de fatorial?

Passo 5

Identificamos um padrão geral: a -ésima derivada de é dada por:
onde é o fatorial de .

Resposta

Então, aplicando esse padrão para , temos:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada:
dd x integral-x^x tan (t^2) d t
Avalie a convergência da integral
integral0^infty(1+x) e^-x d x
Esboce o gráfico e encontre a área delimitada por cada equação em coordenadas polares r = 1 - sen(θ)
10 pontos) g'(x), se g(x) = (tg(x) + raiz(raiz(raiz(x^3))) + 3) / (x^3 - 1).