Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a 2022ª derivada da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas de ordens superiores e a regra do poder. Vamos precisar entender como derivar funções com potências negativas e identificar um padrão para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que facilite a derivação. A função
pode ser escrita como
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a regra do poder: se temos
, então a primeira derivada é
. Vamos aplicar essa regra várias vezes para encontrar as derivadas sucessivas.
Passo 4
Vamos calcular as primeiras derivadas para ver se aparece um padrão:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Viu como os coeficientes estão alternando de sinal e aumentando de fatorial?
Passo 5
Identificamos um padrão geral: a
-ésima derivada de
é dada por:
onde
é o fatorial de
.
Resposta
Então, aplicando esse padrão para
, temos:
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