Determine (x, y), com x^2 + 4y^2 <= 1, que maximiza a soma 2x + y.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores de e que satisfazem a inequação e que maximizam a soma . Para isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a inequação . Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, onde o eixo maior está no eixo e o eixo menor no eixo .

Passo 3

Queremos maximizar a expressão . Vamos pensar nessa expressão como uma reta , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar o maior valor de para o qual essa reta ainda toca a elipse.

Passo 4

Para encontrar esse ponto de tangência, substituímos da reta na equação da elipse:
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:

Passo 6

Para que essa inequação tenha soluções reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero. O discriminante de uma equação quadrática é . Aplicando isso aqui:

Passo 7

Então, o valor máximo de é . Agora, substituímos esse valor na reta para encontrar e :
Podemos resolver isso juntamente com a equação da elipse para encontrar os pontos específicos.

Resposta

Os pontos que maximizam a soma dentro da região são , e o valor máximo da soma é .

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