Determine
, que maximiza a soma
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores de
e
que satisfazem a inequação
e que maximizam a soma
. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a inequação
. Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, onde o eixo maior está no eixo
e o eixo menor no eixo
.
Passo 3
Queremos maximizar a expressão
. Vamos pensar nessa expressão como uma reta
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar o maior valor de
para o qual essa reta ainda toca a elipse.
Passo 4
Para encontrar esse ponto de tangência, substituímos
da reta na equação da elipse:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Passo 6
Para que essa inequação tenha soluções reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero. O discriminante de uma equação quadrática
é
. Aplicando isso aqui:
Passo 7
Então, o valor máximo de
é
. Agora, substituímos esse valor na reta
para encontrar
e
:
Podemos resolver isso juntamente com a equação da elipse para encontrar os pontos específicos.
Resposta
Os pontos que maximizam a soma
dentro da região
são
, e o valor máximo da soma é
.