Avalie as integrais:
(g) integral cossec^4 x cotg^6 x, d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos avaliar a integral de csc^4 x cot^6 x em relação a x. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de integração que envolvem as funções csc x e cot x.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral para facilitar a resolução. Sabemos que cot x = cos xsin x e csc x = 1sin x. Mas, para facilitar, vamos usar a identidade cot^2 x = csc^2 x - 1.

Passo 3

Vamos reescrever cot^6 x usando a identidade mencionada:
cot^6 x = (cot^2 x)^3 = (csc^2 x - 1)^3
Expandir essa expressão complicaria a integral, então vamos optar por uma substituição mais simples.

Passo 4

Observamos que a derivada de cot x é - csc^2 x, o que sugere uma substituição adequada. Vamos definir:
u = cot x Rightarrow du = -csc^2 x , dx Rightarrow -du = csc^2 x , dx

Passo 5

Reescrevendo a integral com essa substituição:
integral csc^4 x cot^6 x , dx = integral cot^6 x cdot csc^4 x , dx = integral cot^6 x cdot csc^2 x cdot csc^2 x , dx
Usando a substituição u = cot x e -du = csc^2 x , dx, temos:
= integral u^6 cdot csc^2 x cdot csc^2 x , dx = -integral u^6 cdot du

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em termos de u:
-integral u^6 , du = -u^77 + C = -cot^7 x7 + C

Resposta

A integral avaliada é:
- cot^7 x7 + C

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