Calcule as integrais:
© integral e^x raize^x-1e^x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve um pouco de cálculo de integrais, mais especificamente integrais que requerem substituição para simplificar. Vamos usar substituições inteligentes para facilitar o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão . Vamos chamar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos substituir integral e^x raize^x-1e^x+8 , dx = integral u raizu - 1u + 8 cdot duu = integral raizu - 1u + 8 , du e na integral original:
Então, a integral ficou mais simples: .

Passo 4

Vamos fazer outra substituição para lidar com a raiz quadrada. Seja . Então, e .

Passo 5

Substituindo integral raizu - 1u + 8 , du = integral zz^2 + 1 + 8 cdot 2z , dz = 2 integral z^2z^2 + 9 , dz na integral, temos:
z^2z^2 + 9 = 1 - 9z^2 + 9
Essa integral pode ser simplificada dividindo 2 integral (1 - 9z^2 + 9) , dz = 2 integral 1 , dz - 18 integral 1z^2 + 9 , dz por :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. 2z - 18 cdot 13 tan^-1(z3) + C = 2z - 6 tan^-1(z3) + C
Substituindo de volta:

Passo 7

Lembrando que 2 raize^x - 1 - 6 tan^-1(raize^x - 13) + C e , substituímos de volta:

Resposta

A integral 2 raize^x - 1 - 6 tan^-1(raize^x - 13) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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