Calcule:
(j) integral d xcos ^2(x) raiz1+tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de 1cos^2(x) raiz1+tan(x) em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que tan(x) = sin(x)cos(x). Mas para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos deixar u = tan(x). Assim, precisamos encontrar du em termos de dx.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x:
u = tan(x) dudx = sec^2(x) = 1cos^2(x) Rightarrow dx = cos^2(x) , du
Agora, substituindo u e dx na integral original:
integral dxcos^2(x) raiz1 + tan(x) = integral cos^2(x) , ducos^2(x) raiz1 + u = integral duraiz1 + u

Passo 4

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral duraiz1 + u
Isso é uma integral básica que podemos resolver usando a potência de u:
integral (1 + u)^-1/2 du = 2 raiz1 + u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = tan(x):
2 raiz1 + tan(x) + C

Resposta

A integral é igual a 2,raiz1 + tan(x) + C, onde C é a constante de integração.

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