Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais. Precisaremos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observamos que ele é um polinômio de quarto grau, mas podemos simplificá-lo fazendo uma substituição. Seja , então temos:
Substituindo de volta :
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Encontrando :
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Subtraindo a segunda da quarta:
Encontrando :
Passo 6
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos à integral original decompondo-a nas partes encontradas: