Avalie as integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais. Precisaremos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observamos que ele é um polinômio de quarto grau, mas podemos simplificá-lo fazendo uma substituição. Seja , então temos:
Substituindo de volta :

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Encontrando :
  4. Da segunda equação:
  5. Da quarta equação:
  6. Subtraindo a segunda da quarta:
  7. Encontrando :

Passo 6

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos à integral original decompondo-a nas partes encontradas:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
Isso porque a integral de é , e aqui .

Passo 9

Segunda integral:
Vamos resolver cada parte:
  1. Integral de :
    Seja , então , ou seja, .
  2. Integral de :
    Aqui, .

Passo 10

Juntando todas as partes:

Resposta

A integral avaliada é:

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Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(g)
Resolva as integrais:
Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(h)
Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(f)