Avalie as integrais: integral x^3-2 x^2+x+1x^4+5 x^2+4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais. Precisaremos fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador y^2 + 5y + 4 = (y + 1)(y + 4) . Observamos que ele é um polinômio de quarto grau, mas podemos simplificá-lo fazendo uma substituição. Seja x^4 + 5x^2 + 4 = (x^2 + 1)(x^2 + 4) , então temos:
Substituindo de volta :

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral x^3 - 2x^2 + x + 1(x^2 + 1)(x^2 + 4) , dx
Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
x^3 - 2x^2 + x + 1(x^2 + 1)(x^2 + 4) = Ax + Bx^2 + 1 + Cx + Dx^2 + 4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x^3 - 2x^2 + x + 1 = (Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 1) para eliminar as frações:
x^3 - 2x^2 + x + 1 = A x^3 + 4A x + B x^2 + 4B + C x^3 + C x + D x^2 + D
Expandindo o lado direito:
x^3 - 2x^2 + x + 1 = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (4A + C)x + (4B + D)
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + C = 1 &(coeficiente de x^3) B + D = -2 &(coeficiente de x^2) 4A + C = 1 &(coeficiente de x) 4B + D = 1 &(termo constante)
Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 4A + (1 - A) = 1 Rightarrow 3A + 1 = 1 Rightarrow 3A = 0 Rightarrow A = 0
  2. Substituindo 3B = 3 Rightarrow B = 1 na terceira equação:
  3. Encontrando :
  4. Da segunda equação:
  5. Da quarta equação:
  6. Subtraindo a segunda da quarta:
  7. Encontrando :

Passo 6

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
x^3 - 2x^2 + x + 1(x^2 + 1)(x^2 + 4) = 0x + 1x^2 + 1 + 1x - 3x^2 + 4
Simplificando:
1x^2 + 1 + x - 3x^2 + 4

Passo 7

Agora, voltamos à integral original decompondo-a nas partes encontradas:
integral 1x^2 + 1 , dx + integral x - 3x^2 + 4 , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x) + C
Isso porque a integral de é , e aqui .

Passo 9

Segunda integral:
integral x - 3x^2 + 4 , dx = integral xx^2 + 4 , dx - 3 integral 1x^2 + 4 , dx
Vamos resolver cada parte:
  1. Integral de integral xx^2 + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 4| + C :
    Seja integral 1x^2 + 4 , dx = 12 arctan(x2) + C , então , ou seja, .
  2. Integral de :
    Aqui, .

Passo 10

Juntando todas as partes:
arctan(x) + 12 ln(x^2 + 4) - 32 arctan(x2) + C

Resposta

A integral avaliada é:
arctan(x) + 12 ln(x^2 + 4) - 32 arctan(x2) + C

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