Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(f) a_n = (-1)^n / (n^2 + 1)

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Vamos trabalhar com o conteúdo de sequências e limites, e para isso vamos precisar entender como o comportamento dos termos muda conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte do denominador, . Conforme fica maior, também cresce muito, fazendo com que se torne bem grande. Isso significa que o denominador está indo para o infinito à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador, que é . Esse termo alterna entre -1 e 1 dependendo se é par ou ímpar. Então, o numerador está sempre limitado, sempre entre -1 e 1.

Passo 4

Juntando essas duas informações, temos que . O numerador fica limitado, mas o denominador cresce sem parar. Quando você divide um número limitado por um número que cresce para o infinito, o resultado vai se aproximando de 0.

Passo 5

Portanto, a sequência está ficando cada vez mais perto de 0 conforme aumenta. Isso significa que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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