Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular . Estamos no campo de cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, .

Passo 3

Com essa substituição, precisamos expressar em termos de . Se , então elevando ambos os lados ao quadrado, temos . Isso nos dá .

Passo 4

Agora, vamos calcular em termos de . Derivando em relação a , obtemos .

Passo 5

Vamos substituir e na integral original:
Simplificando o denominador:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 7

Agora, a integral é:
Vamos usar frações parciais para separar essa fração. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 9

Agora, substituímos e na integral:
Integrando:

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Escreva a fórmula do termo geral da sequência e determine seu limite (caso exista):
©
Um grande bloco de gelo tem a forma de um cubo perfeito. À medida que derrete, cada aresta do cubo diminui a uma taxa de . A que taxa o volume do cubo de gelo está mudando?
Verifique se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(g)
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