Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular
. Estamos no campo de cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
. Assim,
.
Passo 3
Com essa substituição, precisamos expressar
em termos de
. Se
, então elevando ambos os lados ao quadrado, temos
. Isso nos dá
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
em termos de
. Derivando
em relação a
, obtemos
.
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando o denominador:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então:
Passo 7
Agora, a integral é:
Vamos usar frações parciais para separar essa fração. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na integral:
Integrando:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Escreva a fórmula do termo geral
da sequência e determine seu limite (caso exista):
©
©
Um grande bloco de gelo tem a forma de um cubo perfeito. À medida que derrete, cada aresta do cubo diminui a uma taxa de
. A que taxa o volume do cubo de gelo está mudando?
Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(g)
(g)
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