Resolva as integrais: integral 1x-raizx+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular . Estamos no campo de cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, .

Passo 3

Com essa substituição, precisamos expressar em termos de . Se , então elevando ambos os lados ao quadrado, temos . Isso nos dá .

Passo 4

Agora, vamos calcular em termos de . Derivando em relação a , obtemos .

Passo 5

Vamos substituir integral 1(u^2 - 2) - u cdot 2u , du e u^2 - u - 2 na integral original:
Simplificando o denominador:

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral 2uu^2 - u - 2 , du
Vamos fatorar o denominador u^2 - u - 2 = (u - 2)(u + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 7

Agora, a integral é:
integral 2u(u - 2)(u + 1) , du
Vamos usar frações parciais para separar essa fração. Assumimos que:
2u(u - 2)(u + 1) = Au - 2 + Bu + 1
Multiplicando ambos os lados por 2u = A(u + 1) + B(u - 2) :

Passo 8

Para encontrar 2(2) = A(2 + 1) + B(2 - 2) Rightarrow 4 = 3A Rightarrow A = 43 e 2(-1) = A(-1 + 1) + B(-1 - 2) Rightarrow -2 = -3B Rightarrow B = 23 , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 9

Agora, substituímos integral ( 4/3u - 2 + 2/3u + 1 ) du = 43 integral 1u - 2 , du + 23 integral 1u + 1 , du e 43 ln|u - 2| + 23 ln|u + 1| + C na integral:
Integrando:

Passo 10

Lembrando que 43 ln|raizx + 2 - 2| + 23 ln|raizx + 2 + 1| + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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