Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para avaliarmos a integral definida
. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que combinam funções polinomiais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os limites de integração. Sabemos que
. Então, a integral fica
.
Passo 3
Observamos que a integral tem a forma
, que sugere o uso de substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição
. Com isso,
e
.
Passo 4
Alterando os limites de integração para
:
- Quando
, então . - Quando
, então .
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Usamos a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
©
©
Usando a regra da cadeia, calcule
.
(e)
(e)
Seja
uma função de duas variáveis. Calcule
se
(d)
(d)