Avalie a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para avaliarmos a integral definida . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que combinam funções polinomiais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os limites de integração. Sabemos que . Então, a integral fica .

Passo 3

Observamos que a integral tem a forma , que sugere o uso de substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição . Com isso, e .

Passo 4

Alterando os limites de integração para :
  • Quando , então .
  • Quando , então .

Passo 5

Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos calcular . Usamos a identidade trigonométrica :

Passo 7

Integrando termo a termo:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 8

Aplicando os limites de integração de a :

Resposta

O valor da integral é .

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Encontre e .
©
Usando a regra da cadeia, calcule .
(e)
Seja uma função de duas variáveis. Calcule se
(d)