(d) Avalie a integral mudando para coordenadas polares:
onde
é a região anular limitada pelos círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a gente mudar para coordenadas polares. O enunciado é:
Aqui,
é uma região anular entre dois círculos: um de raio 1 (
) e outro de raio
(
). Vamos usar coordenadas polares porque a região é circular, e isso geralmente simplifica as integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
Além disso, o elemento de área
em cartesianas é
, mas em polares fica:
Passo 3
Vamos substituir
e
na expressão original:
Isso simplifica bastante a função que estamos integrando!
Passo 4
Agora, vamos redefinir os limites de integração em coordenadas polares. A região
está entre os círculos de raio 1 e
, então
varia de 1 a
. O ângulo
completa toda a volta, de 0 a
.
Passo 5
Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral de
de 1 a
é:
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então,
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
(b) Determine o volume por integração iterada. O sólido no primeiro octante limitado pela superfície
e o plano
.
Calcule o limite, se existir.
29.
29.
(2,0) Resolva a equaçao diferencial homogênea:
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