(d) Avalie a integral mudando para coordenadas polares:
onde é a região anular limitada pelos círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a gente mudar para coordenadas polares. O enunciado é:
Aqui, é uma região anular entre dois círculos: um de raio 1 ( ) e outro de raio ( ). Vamos usar coordenadas polares porque a região é circular, e isso geralmente simplifica as integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
Além disso, o elemento de área em cartesianas é , mas em polares fica:

Passo 3

Vamos substituir e na expressão original:
Isso simplifica bastante a função que estamos integrando!

Passo 4

Agora, vamos redefinir os limites de integração em coordenadas polares. A região está entre os círculos de raio 1 e , então varia de 1 a . O ângulo completa toda a volta, de 0 a .

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de de 1 a é:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Então,

Resposta

O valor da integral é .

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(b) Determine o volume por integração iterada. O sólido no primeiro octante limitado pela superfície e o plano .
Calcule o limite, se existir.

29.
(2,0) Resolva a equaçao diferencial homogênea:
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