(d) Avalie a integral mudando para coordenadas polares:
integral duplaR y^2x^2+y^2 d A
onde R é a região anular limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a gente mudar para coordenadas polares. O enunciado é:
integral duplaR y^2x^2+y^2 , dA
Aqui, é uma região anular entre dois círculos: um de raio 1 ( ) e outro de raio ( ). Vamos usar coordenadas polares porque a região é circular, e isso geralmente simplifica as integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA = r , dr , dtheta em cartesianas é , mas em polares fica:

Passo 3

Vamos substituir y^2x^2+y^2 = (r sintheta)^2r^2 = sin^2theta e na expressão original:
Isso simplifica bastante a função que estamos integrando!

Passo 4

Agora, vamos redefinir os limites de integração em coordenadas polares. A região está entre os círculos de raio 1 e , então varia de 1 a . O ângulo completa toda a volta, de 0 a .

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
integral0^2pi integral1^raiz2 sin^2theta cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral1^raiz2 r , dr = [ r^22 ]1^raiz2 = (raiz2)^22 - 1^22 = 22 - 12 = 12 . A integral de de 1 a é:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
12 integral0^2pi sin^2theta , dtheta
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2

Passo 8

Substituindo na integral:
12 integral0^2pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 14 integral0^2pi (1 - cos(2theta)) , dtheta

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 0
Então,
14 (2pi - 0) = pi2

Resposta

O valor da integral é .

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