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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral duplo:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais duplas, provavelmente usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como integrar em duas variáveis e aplicar as propriedades das funções trigonométricas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna do integral, que é a integral em relação a . Nosso objetivo aqui é integrar com respeito a , mantendo como uma constante.
A integral fica assim:

Passo 3

Como é constante em relação a , podemos tirá-la de fora da integral:
Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, precisamos integrar o resultado em relação a :
Podemos simplificar tirando a constante de fora:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Calculando os novos limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a :
Aplicando os limites de a :

Resposta

O valor do integral é .

Exercícios relacionados

(2,0) Resolva a equaçao diferencial homogênea:
(d) Avalie a integral mudando para coordenadas polares:
onde é a região anular limitada pelos círculos e .
(a) Determine a integral tripla
(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral: