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integral0^pi / 2 integral0^1-sin theta r^2 cos theta d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral duplo:
integral0^pi / 2 integral0^1-sin theta r^2 cos theta , dr , dtheta
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais duplas, provavelmente usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como integrar em duas variáveis e aplicar as propriedades das funções trigonométricas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna do integral, que é a integral em relação a integral0^1-sin theta r^2 cos theta , dr . Nosso objetivo aqui é integrar com respeito a , mantendo como uma constante.
A integral fica assim:

Passo 3

Como cos theta integral0^1-sin theta r^2 , dr é constante em relação a integral r^2 , dr = r^33 + C , podemos tirá-la de fora da integral:
cos theta [ (1 - sin theta)^33 - 0^33 ] = cos theta (1 - sin theta)^33
Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, precisamos integrar o resultado em relação a integral0^pi / 2 cos theta (1 - sin theta)^33 , dtheta :
13 integral0^pi / 2 cos theta (1 - sin theta)^3 , dtheta
Podemos simplificar tirando a constante de fora:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir du = -cos theta , dtheta Rightarrow -du = cos theta , dtheta . Então, a derivada de 13 integralu(0)^u(pi/2) u^3 (-du) = 13 integralu(pi/2)^u(0) u^3 , du em relação a 13 integral0^1 u^3 , du é:
Substituindo na integral:
Calculando os novos limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando integral u^3 , du = u^44 + C em relação a 13 [ 1^44 - 0^44 ] = 13 cdot 14 = 112 :
Aplicando os limites de a :

Resposta

O valor do integral é .

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