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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse integral duplo:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais duplas, provavelmente usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como integrar em duas variáveis e aplicar as propriedades das funções trigonométricas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna do integral, que é a integral em relação a
. Nosso objetivo aqui é integrar
com respeito a
, mantendo
como uma constante.
A integral fica assim:
Passo 3
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la de fora da integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, precisamos integrar o resultado em relação a
:
Podemos simplificar tirando a constante
de fora:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Calculando os novos limites:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
O valor do integral é
.