(2,0) Resolva a equaçao diferencial homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que você enviou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas. Isso significa que podemos simplificar a equação usando uma substituição que relaciona
a
. Vamos precisar identificar a substituição certa e resolver a equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial da forma
é homogênea se
for uma função apenas de
.
No nosso caso:
Vamos ver o grau de homogeneidade:
-
tem termos de grau 3 e 2. -
tem termos de grau 2 e 2.
Como os graus não são os mesmos, parece que precisamos ajustar a equação para torná-la homogênea.
Passo 3
Vamos tentar uma substituição comum para equações homogêneas:
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação substituída:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Vamos isolar
:
Dividindo tudo por
:
Agora, reorganizando para separar as variáveis:
Passo 6
Vamos agora separar as variáveis
e
:
Rearranjando:
Agora, podemos escrever isso como:
Isso se parece com uma equação diferencial linear em
. Vamos encontrar um fator integrante para resolver.
Passo 7
Depois de resolver a equação diferencial linear, integramos ambos os lados para encontrar
em termos de
. Finalmente, substituímos
de volta para obter a solução geral da equação original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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(d) Avalie a integral mudando para coordenadas polares:
onde
é a região anular limitada pelos círculos
e
.
(b) Determine o volume por integração iterada. O sólido no primeiro octante limitado pela superfície
e o plano
.
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(a) Determine a integral tripla