(2,0) Resolva a equaçao diferencial homogênea:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que você enviou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas. Isso significa que podemos simplificar a equação usando uma substituição que relaciona a . Vamos precisar identificar a substituição certa e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial da forma é homogênea se for uma função apenas de .
No nosso caso:
Vamos ver o grau de homogeneidade:
  • tem termos de grau 3 e 2.
  • tem termos de grau 2 e 2.
Como os graus não são os mesmos, parece que precisamos ajustar a equação para torná-la homogênea.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição comum para equações homogêneas: . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação substituída:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Vamos isolar :
Dividindo tudo por :
Agora, reorganizando para separar as variáveis:

Passo 6

Vamos agora separar as variáveis e :
Rearranjando:
Agora, podemos escrever isso como:
Isso se parece com uma equação diferencial linear em . Vamos encontrar um fator integrante para resolver.

Passo 7

Depois de resolver a equação diferencial linear, integramos ambos os lados para encontrar em termos de . Finalmente, substituímos de volta para obter a solução geral da equação original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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