Avalie a integral de superfície para o campo dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
(a) , é o paralelogramo com equações paramétricas .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície do campo vetorial sobre a superfície , que é um paralelogramo descrito pelas equações paramétricas:
com e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície para encontrar o fluxo de através de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície . As equações nos dão , e em função de e . Assim, podemos escrever a posição vetorial :
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar um vetor normal à superfície . Fazemos isso calculando os vetores tangentes às direções e , ou seja, as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial dos vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
Passo 5
A integral de superfície é dada por:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot N , du , dv
Vamos substituir F na parametrização da superfície:
F(r(u, v)) = (1 + 2u + v) e^(u+v)(u - v) i - 3(1 + 2u + v) e^(u+v)(u - v) j + (u + v)(u - v) k
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot N:
F cdot N = [z e^xy] cdot 3 + [-3 z e^xy] cdot 1 + [x y] cdot (-2)
Substituindo:
= 3z e^xy - 3z e^xy - 2xy = -2xy
Passo 7
A integral fica então:
integral duplaD -2xy , du , dv
Mas precisamos expressar x e y em termos de u e v:
x = u + v, y = u - v implies xy = (u + v)(u - v) = u^2 - v^2