Avalie a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
(a) F(x, y, z)=z e^x y i-3 z e^x y j+x y k, S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 <= u <= 2,0 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) = z e^x y i - 3 z e^x y j + x y k sobre a superfície S, que é um paralelogramo descrito pelas equações paramétricas:
x = u + v, y = u - v, z = 1 + 2u + v,
com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 1. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície para encontrar o fluxo de F através de S.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície S. As equações nos dão x, y e z em função de u e v. Assim, podemos escrever a posição vetorial r(u, v):
r(u, v) = (u + v) i + (u - v) j + (1 + 2u + v) k

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar um vetor normal à superfície S. Fazemos isso calculando os vetores tangentes às direções u e v, ou seja, as derivadas parciais de r(u, v) em relação a u e v:
ru = partial rpartial u = i + j + 2k,
rv = partial rpartial v = i - j + k

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal N à superfície S usando o produto vetorial dos vetores tangentes:
N = ru times rv
Calculando o produto vetorial:
N = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) = i(1 + 2) - j(1 - 2) + k(-1 -1) = 3i + j - 2k

Passo 5

A integral de superfície é dada por:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot N , du , dv
Vamos substituir F na parametrização da superfície:
F(r(u, v)) = (1 + 2u + v) e^(u+v)(u - v) i - 3(1 + 2u + v) e^(u+v)(u - v) j + (u + v)(u - v) k

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot N:
F cdot N = [z e^xy] cdot 3 + [-3 z e^xy] cdot 1 + [x y] cdot (-2)
Substituindo:
= 3z e^xy - 3z e^xy - 2xy = -2xy

Passo 7

A integral fica então:
integral duplaD -2xy , du , dv
Mas precisamos expressar x e y em termos de u e v:
x = u + v, y = u - v implies xy = (u + v)(u - v) = u^2 - v^2
Substituindo na integral:
integral duplaD -2(u^2 - v^2) , du , dv

Passo 8

Vamos integrar em u de 0 a 2 e em v de 0 a 1:
-2 integral0^2 integral0^1 (u^2 - v^2) , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v:
integral0^1 (u^2 - v^2) , dv = u^2 v - v^33 |0^1 = u^2 (1) - 13 - (0 - 0) = u^2 - 13

Passo 9

Agora, integramos em relação a u:
-2 integral0^2 (u^2 - 13) , du = -2 ( u^33 - u3 ) |0^2 = -2 ( 83 - 23 - 0 ) = -2 ( 63 ) = -2 times 2 = -4

Resposta

O fluxo de F através de S é igual a -4.

Exercícios relacionados

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
(b) F(x, y) = e^x sen(y) i + e^x sen(y) j.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
(g) F(x, y) = (e^x sen(y), e^y sen(y), e^z sen(x)).
Determine a área da superfície.
(b) A parte do plano com equação vetorial r(u, v) = (u + v, 2 - 3u, 1 + u - v) que é dada por 0 <= u <= 2, -1 <= v <= 1.
Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
(x+y) dx + x dy = 0 ; y = 1/x