Determine a área da superfície.
(b) A parte do plano com equação vetorial que é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área de uma parte de um plano definido pela equação vetorial onde e . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de área de superfícies paramétricas, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta quando variamos cada uma das variáveis.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e sua magnitude está relacionada à área.
Calculando:
Passo 4
Vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área de um paralelogramo infinitesimal na superfície.
Calculando a magnitude:
Passo 5
Para encontrar a área total da superfície, vamos integrar essa magnitude sobre os limites dados para e .
A área é dada por:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. Como é uma constante, podemos simplificar a integração.