Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
(b) F(x, y) = e^x sen(y) i + e^x sen(y) j.

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Precisamos determinar se o campo vetorial é conservativo. Caso seja, devemos encontrar uma função tal que .
Conteúdo Utilizado:
Vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e propriedades dos gradientes.

Passo 2

O que é um Campo Vetorial Conservativo?
Um campo vetorial é chamado de conservativo se existir uma função escalar tal que seja o gradiente dessa função, ou seja, . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que as derivadas parciais dos componentes do campo devem satisfazer certas condições de igualdade.

Passo 3

Componentes do Campo Vetorial:
Identificamos os componentes do campo :
onde .

Passo 4

Verificando as Condições para ser Conservativo:
Para que seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, é necessário que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 5

Calculando as Derivadas Parciais:

Passo 6

Comparando as Derivadas:
Agora, comparamos as derivadas obtidas:
Para que sejam iguais, precisaríamos que , o que somente ocorre para valores específicos de , como , onde é inteiro. Porém, essa igualdade não é válida para todo .

Resposta

Portanto, o campo vetorial não é conservativo.

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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
(g) F(x, y) = (e^x sen(y), e^y sen(y), e^z sen(x)).
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