Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
(g) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente às operações de rotacional (também conhecido como curl) e divergente. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para o divergente de é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
(porque a derivada de é e é tratado como uma constante em relação a ).
(usando a regra do produto).
(similar ao primeiro termo).
Agora, somando essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . O rotacional nos indica a tendência do campo vetorial de formar “redemoinhos” ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional de é dada pelo determinante da matriz: