Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
(g) F(x, y) = (e^x sen(y), e^y sen(y), e^z sen(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente às operações de rotacional (também conhecido como curl) e divergente. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular essas duas operações usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial . O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para o divergente de é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. (porque a derivada de é e é tratado como uma constante em relação a ).
  2. (usando a regra do produto).
  3. (similar ao primeiro termo).
Agora, somando essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . O rotacional nos indica a tendência do campo vetorial de formar “redemoinhos” ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional de é dada pelo determinante da matriz:
Isso se expande para:
Vamos calcular cada componente:
  1. (pois não há na expressão).
  2. (pois não há na expressão).
Então, a componente é .
  1. .
  2. (pois não há na expressão).
Então, a componente é .
  1. (pois não há na expressão).
  2. .
Então, a componente é .
Portanto, juntando tudo:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(d) F(x, y, z)=x i+y j-x y k, r(t)=cos t i+sin t j+t k, 0 <= t <= 1.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(j) integralC x y e^y z d s, C: x=t, y=t^2, z=t^3 0 <= t <= 1.
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
(b) F(x, y) = e^x sen(y) i + e^x sen(y) j.
Avalie a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
(a) F(x, y, z)=z e^x y i-3 z e^x y j+x y k, S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 <= u <= 2,0 <= v <= 1.