Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde é a poligonal que une os pontos, em ordem, e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha , onde é uma trajetória poligonal que liga os pontos , , e nessa ordem. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente integrando funções ao longo de trajetórias definidas por segmentos de reta. Vamos precisar dividir a trajetória em segmentos menores, parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a trajetória em três segmentos de reta:
  1. Segmento : de até
  2. Segmento : de até
  3. Segmento : de até
Cada um desses segmentos será tratado separadamente para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Vamos começar com o Segmento , que vai de até .
Parametrização do :
Podemos usar uma parametrização linear. Seja variando de 0 a 1.
Cálculo de :
Integral no :
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos para o Segmento , que vai de até .
Parametrização do :
Cálculo de :
Integral no :
Como as expressões são iguais:
Integrando:

Passo 5

Por fim, vamos para o Segmento , que vai de até .
Parametrização do :
Cálculo de :
Integral no :
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, a integral fica:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor da integral de linha é:

Exercícios relacionados

Considere o PVI
Encontre duas soluções fundamentais da equação diferencial, a solução geral e o intervalo de validade. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado.
Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde é o segmento entre os pontos e
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde é a curva , com a e constantes positivas.