Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
é a poligonal que une os pontos, em ordem,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
, onde
é uma trajetória poligonal que liga os pontos
,
,
e
nessa ordem. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente integrando funções ao longo de trajetórias definidas por segmentos de reta. Vamos precisar dividir a trajetória
em segmentos menores, parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a trajetória
em três segmentos de reta:
- Segmento
: de até - Segmento
: de até - Segmento
: de até
Cada um desses segmentos será tratado separadamente para facilitar o cálculo da integral.
Passo 3
Vamos começar com o Segmento
, que vai de
até
.
Parametrização do
:
Podemos usar uma parametrização linear. Seja variando de 0 a 1.
Podemos usar uma parametrização linear. Seja
Cálculo de
:
Integral no
:
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos para o Segmento
, que vai de
até
.
Parametrização do
:
Cálculo de
:
Integral no
:
Como as expressões são iguais:
Integrando:
Passo 5
Por fim, vamos para o Segmento
, que vai de
até
.
Parametrização do
:
Cálculo de
:
Integral no
:
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, a integral fica:
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor da integral de linha é:
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Considere o PVI
Encontre duas soluções fundamentais da equação diferencial, a solução geral e o intervalo de validade. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado.
Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
é o segmento entre os pontos
e
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva
, com a e
constantes positivas.