Avalie os seguintes integrais de linha.
integralC(x^2+y^2) d s, onde C é a poligonal que une os pontos, em ordem, (-2,1),(-1,-1),(1,1) e (2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha , onde é uma trajetória poligonal que liga os pontos , , e nessa ordem. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente integrando funções ao longo de trajetórias definidas por segmentos de reta. Vamos precisar dividir a trajetória em segmentos menores, parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a trajetória em três segmentos de reta:
  1. Segmento : de até
  2. Segmento : de até
  3. Segmento : de até
Cada um desses segmentos será tratado separadamente para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Vamos começar com o Segmento x(t) = -2 + t cdot ( -1 - (-2) ) = -2 + t , que vai de y(t) = 1 + t cdot ( -1 - 1 ) = 1 - 2t até dxdt = 1, dydt = -2 .
Parametrização do d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt = raiz1^2 + (-2)^2 dt = raiz5 dt :
Podemos usar uma parametrização linear. Seja integralC1 (x^2 + y^2) d s = integral0^1 [ (-2 + t)^2 + (1 - 2t)^2 ] raiz5 dt variando de 0 a 1.
(-2 + t)^2 = 4 - 4t + t^2
(1 - 2t)^2 = 1 - 4t + 4t^2
Cálculo de 4 - 4t + t^2 + 1 - 4t + 4t^2 = 5 - 8t + 5t^2 :
raiz5 integral0^1 (5 - 8t + 5t^2) dt = raiz5 [5t - 4t^2 + 53t^3 ]0^1 = raiz5 (5 - 4 + 53) = raiz5 cdot 83 = 8raiz53
Integral no :
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos para o Segmento x(t) = -1 + t cdot (1 - (-1)) = -1 + 2t , que vai de y(t) = -1 + t cdot (1 - (-1)) = -1 + 2t até dxdt = 2, dydt = 2 .
Parametrização do d s = raiz2^2 + 2^2 dt = raiz8 dt = 2raiz2 dt :
integralC2 (x^2 + y^2) d s = integral0^1 [ (-1 + 2t)^2 + (-1 + 2t)^2 ] 2raiz2 dt
2 integral0^1 (-1 + 2t)^2 2raiz2 dt = 4raiz2 integral0^1 (1 - 4t + 4t^2) dt
Cálculo de 4raiz2 [ t - 2t^2 + 43t^3 ]0^1 = 4raiz2 (1 - 2 + 43) = 4raiz2 cdot 13 = 4raiz23 :
Integral no :
Como as expressões são iguais:
Integrando:

Passo 5

Por fim, vamos para o Segmento x(t) = 1 + t cdot (2 - 1) = 1 + t , que vai de y(t) = 1 + t cdot (-1 - 1) = 1 - 2t até dxdt = 1, dydt = -2 .
Parametrização do d s = raiz1^2 + (-2)^2 dt = raiz5 dt :
integralC3 (x^2 + y^2) d s = integral0^1 [ (1 + t)^2 + (1 - 2t)^2 ] raiz5 dt
(1 + t)^2 = 1 + 2t + t^2
Cálculo de (1 - 2t)^2 = 1 - 4t + 4t^2 :
1 + 2t + t^2 + 1 - 4t + 4t^2 = 2 - 2t + 5t^2
raiz5 integral0^1 (2 - 2t + 5t^2) dt = raiz5 [2t - t^2 + 53t^3 ]0^1 = raiz5 (2 - 1 + 53) = raiz5 cdot 83 = 8raiz53
Integral no :
Expandindo os quadrados:
Somando:
Então, a integral fica:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
8raiz53 + 4raiz23 + 8raiz53 = 16raiz5 + 4raiz23
Portanto, o valor da integral de linha é:
boxed16raiz5 + 4raiz23

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