Avalie os seguintes integrais de linha.
onde é a curva , com a e constantes positivas.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos que avaliar a integral de linha:
Aqui, é uma curva definida por para , onde e são constantes positivas. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e integrais de linha para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a “soma” de uma função ao longo de uma curva. Neste caso, a função que estamos integrando é .

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva . A parametrização dada é . Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituindo , , e na integral original:

Passo 6

Simplificamos os termos no numerador e no denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 7

Substituindo novamente na integral:
(Usamos a identidade trigonométrica )

Passo 8

Agora, a integral fica bem simples:

Resposta

A integral de linha avaliada é .

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, onde é o segmento entre os pontos e
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, onde é a poligonal que une os pontos, em ordem, e .
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onde é a curva em dada por , onde e a são constantes.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
sobre o plano ;