Avalie os seguintes integrais de linha.
integralC y d x-x d yx^2+y^2 onde C é a curva sigma(t)=(R cos t, R sin t), 0 <= t <= a, com a e R constantes positivas.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos que avaliar a integral de linha:
integralC y , dx - x , dyx^2 + y^2
Aqui, é uma curva definida por para , onde e são constantes positivas. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e integrais de linha para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a “soma” de uma função ao longo de uma curva. Neste caso, a função que estamos integrando é .

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva . A parametrização dada é . Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituindo integralC y , dx - x , dyx^2 + y^2 = integral0^a (R sin t)(-R sin t , dt) - (R cos t)(R cos t , dt)(R cos t)^2 + (R sin t)^2 , , e na integral original:

Passo 6

Simplificamos os termos no numerador e no denominador:
Numerador:
(R sin t)(-R sin t) - (R cos t)(R cos t) = -R^2 sin^2 t - R^2 cos^2 t
Denominador:
(R cos t)^2 + (R sin t)^2 = R^2 (cos^2 t + sin^2 t) = R^2

Passo 7

Substituindo novamente na integral:
integral0^a -R^2 (sin^2 t + cos^2 t)R^2 , dt = integral0^a -R^2 cdot 1R^2 , dt = integral0^a -1 , dt
(Usamos a identidade trigonométrica )

Passo 8

Agora, a integral fica bem simples:
integral0^a -1 , dt = - integral0^a 1 , dt = - [t]0^a = - (a - 0) = -a

Resposta

A integral de linha avaliada é .

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