Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva
, com a e
constantes positivas.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos que avaliar a integral de linha:
Aqui,
é uma curva definida por
para
, onde
e
são constantes positivas. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e integrais de linha para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a “soma” de uma função ao longo de uma curva. Neste caso, a função que estamos integrando é
.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
. A parametrização dada é
. Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na integral original:
Passo 6
Simplificamos os termos no numerador e no denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 7
Substituindo novamente na integral:
(Usamos a identidade trigonométrica
)
Passo 8
Agora, a integral fica bem simples:
Resposta
A integral de linha avaliada é
.