Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E também temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e resolver a equação característica para achar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para achar a solução específica do problema.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara é a melhor opção aqui:
Onde, para a nossa equação, , , e . Substituindo:
Como o discriminante () é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 4
Vamos simplificar as raízes complexas:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e . Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Primeiro, para :
Passo 7
Em seguida, derivamos para achar :
Simplificando e aplicando :
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E a solução particular do problema de valor inicial é exatamente essa mesma expressão com os valores de e já definidos.