Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
u'' + 4 u' + 31 u = 0, u(0) = -2, u'(0) = 10
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E também temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e resolver a equação característica para achar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para achar a solução específica do problema.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. A fórmula de Bhaskara é a melhor opção aqui:
Onde, para a nossa equação, , , e . Substituindo:
Como o discriminante ( ) é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 4

Vamos simplificar as raízes complexas:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e . Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Primeiro, para :

Passo 7

Em seguida, derivamos u(t) para achar :
Simplificando e aplicando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
E a solução particular do problema de valor inicial é exatamente essa mesma expressão com os valores de e já definidos.

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