Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E também temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas e resolver a equação característica para achar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para achar a solução específica do problema.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica dessa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A fórmula de Bhaskara é a melhor opção aqui:
Onde, para a nossa equação,
,
, e
. Substituindo:
Como o discriminante (
) é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 4
Vamos simplificar as raízes complexas:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
. Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Primeiro, para
:
Passo 7
Em seguida, derivamos
para achar
:
Simplificando e aplicando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E a solução particular do problema de valor inicial é exatamente essa mesma expressão com os valores de
e
já definidos.