Avalie os seguintes integrais de linha.
integralC x y d s, onde C é o segmento entre os pontos (3,2) e (6,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de linha integralC x y , d s, onde C é o segmento de reta que vai do ponto (3,2) até o ponto (6,6). A matéria envolvida aqui é sobre integrais de linha, que basicamente somam uma função ao longo de um caminho específico. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta, expressar d s em termos de nossa parametrização e, por fim, integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta C que vai de (3,2) a (6,6). Isso significa que vamos expressar x e y em função de um parâmetro, digamos t, que varia de 0 a 1.
A parametrização de uma reta entre dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) é dada por:
x(t) = x0 + (x1 - x0)t
y(t) = y0 + (y1 - y0)t
Então, para nossos pontos:
x(t) = 3 + (6 - 3)t = 3 + 3t
y(t) = 2 + (6 - 2)t = 2 + 4t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar d s, que representa um pequeno segmento de comprimento na reta. Para isso, usamos a fórmula:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = 3
dydt = 4
Então:
d s = raiz3^2 + 4^2 , dt = raiz9 + 16 , dt = raiz25 , dt = 5 , dt

Passo 4

Agora, substituímos x(t), y(t) e d s na integral original:
integralC x y , d s = integral0^1 (3 + 3t)(2 + 4t) cdot 5 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3 + 3t)(2 + 4t) = 3 cdot 2 + 3 cdot 4t + 3t cdot 2 + 3t cdot 4t = 6 + 12t + 6t + 12t^2 = 6 + 18t + 12t^2
Então, a integral fica:
5 integral0^1 (6 + 18t + 12t^2) , dt

Passo 5

Vamos calcular a integral:
5 integral0^1 (6 + 18t + 12t^2) , dt = 5 [ 6t + 182t^2 + 123t^3 ]0^1
Simplificando:
5 [ 6t + 9t^2 + 4t^3 ]0^1
Avaliando de 0 a 1:
5 [ 6(1) + 9(1)^2 + 4(1)^3 - (6(0) + 9(0)^2 + 4(0)^3) ] = 5 [ 6 + 9 + 4 ] = 5 cdot 19 = 95

Resposta

O valor da integral de linha é 95.

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