Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde é o segmento entre os pontos e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . A matéria envolvida aqui é sobre integrais de linha, que basicamente somam uma função ao longo de um caminho específico. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta, expressar em termos de nossa parametrização e, por fim, integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que vai de a . Isso significa que vamos expressar e em função de um parâmetro, digamos , que varia de 0 a 1.
A parametrização de uma reta entre dois pontos e é dada por:
Então, para nossos pontos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que representa um pequeno segmento de comprimento na reta. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos , e na integral original:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Simplificando:
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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, onde é a poligonal que une os pontos, em ordem, e .
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