Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
é o segmento entre os pontos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. A matéria envolvida aqui é sobre integrais de linha, que basicamente somam uma função ao longo de um caminho específico. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta, expressar
em termos de nossa parametrização e, por fim, integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
que vai de
a
. Isso significa que vamos expressar
e
em função de um parâmetro, digamos
, que varia de 0 a 1.
A parametrização de uma reta entre dois pontos
e
é dada por:
Então, para nossos pontos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que representa um pequeno segmento de comprimento na reta. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Simplificando:
Avaliando de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
é a poligonal que une os pontos, em ordem,
e
.
Considere o PVI
Encontre duas soluções fundamentais da equação diferencial, a solução geral e o intervalo de validade. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado.
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva
, com a e
constantes positivas.
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva em
dada por
, onde
e a são constantes.