Avalie os seguintes integrais de linha.
onde é a curva em dada por , onde e a são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que basicamente soma valores ao longo de uma curva no espaço 3D. A integral que precisamos resolver é . A curva é descrita por para entre e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da integral de linha. Ela é definida como , onde é um campo vetorial e é o diferencial de posição ao longo da curva. No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva substituindo , e pela função . Ou seja:
Isso nos ajuda a expressar em termos de .

Passo 4

Precisamos também calcular as derivadas de , e em relação a para encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral de linha:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Percebe-se que os dois primeiros termos se cancelam:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral:
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral de linha avaliada é .

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Avalie os seguintes integrais de linha.
onde é a curva , com a e constantes positivas.
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde é o segmento entre os pontos e
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
sobre o plano ;
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de .
sobre o (dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);