Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva em
dada por
, onde
e a são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que basicamente soma valores ao longo de uma curva no espaço 3D. A integral que precisamos resolver é
. A curva
é descrita por
para
entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da integral de linha. Ela é definida como
, onde
é um campo vetorial e
é o diferencial de posição ao longo da curva. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
substituindo
,
e
pela função
. Ou seja:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
.
Passo 4
Precisamos também calcular as derivadas de
,
e
em relação a
para encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral de linha:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Percebe-se que os dois primeiros termos se cancelam:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral de linha avaliada é
.
Exercícios relacionados
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva
, com a e
constantes positivas.
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
é o segmento entre os pontos
e
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o plano
;
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o
(dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);