Avalie os seguintes integrais de linha.
integralC x d x+y d y+(x+y-1) d z onde C é a curva em R^3 dada por sigma(t)=(R cos t, R sin t, a t / 2 pi), 0 <= t <= 2 pi, onde R e a são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que basicamente soma valores ao longo de uma curva no espaço 3D. A integral que precisamos resolver é . A curva é descrita por para entre e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da integral de linha. Ela é definida como , onde é um campo vetorial e é o diferencial de posição ao longo da curva. No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, z(t) = a t2pi substituindo , e pela função . Ou seja:
Isso nos ajuda a expressar em termos de .

Passo 4

Precisamos também calcular as derivadas de dxdt = -R sin t, dydt = R cos t, dzdt = a2pi , e em relação a para encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral de linha:
integral0^2pi [ x(t) dxdt + y(t) dydt + (x(t) + y(t) - 1) dzdt ] dt
Substituindo os valores que já encontramos:
integral0^2pi [ R cos t (-R sin t) + R sin t (R cos t) + (R cos t + R sin t - 1) ( a2pi ) ] dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^2pi [ -R^2 cos t sin t + R^2 sin t cos t + a2pi (R cos t + R sin t - 1) ] dt
Percebe-se que os dois primeiros termos se cancelam:
-R^2 cos t sin t + R^2 sin t cos t = 0
Então, a integral fica:
integral0^2pi a2pi (R cos t + R sin t - 1) dt

Passo 7

Vamos separar a integral:
a2pi [ R integral0^2pi cos t , dt + R integral0^2pi sin t , dt - integral0^2pi 1 , dt ]
Sabemos que a2pi [ 0 + 0 - integral0^2pi 1 , dt ] = a2pi (-2pi) = -a e , então:

Resposta

A integral de linha avaliada é .

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