Um aviāo tem m=48 lugares. Sabendo que, em média, 10 % das pessoas que fazem reserva nāo comparecem na hora do vôo, a companhia aérea decide aceitar n=50 reservas. Qual a probabilidade de que todas as pessoas que comparecem na hora do vôo consigam de fato viajar?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos um avião com 48 lugares. A companhia aérea decidiu aceitar 50 reservas. Sabendo que, em média, 10% das pessoas não aparecem no voo, queremos descobrir a probabilidade de que todas as pessoas que realmente aparecem consigam viajar. Isso envolve conceitos de probabilidade binomial e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas coisas. Quando a companhia aceita 50 reservas e 10% não aparecem, isso significa que cada reserva tem 90% de chance de realmente ir ao voo. Vamos chamar o número de pessoas que aparecem de S. Então, S segue uma distribuição binomial com n = 50 (número de reservas) e p = 0.9 (probabilidade de comparecimento).

Passo 3

A média (esperança) dessa distribuição é calculada por:
mu = n times p = 50 times 0.9 = 45
E o desvio padrão é:
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz50 times 0.9 times 0.1 approx 2.121
Isso significa que, em média, esperamos que 45 pessoas apareçam, com uma variação de aproximadamente 2.121 pessoas.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de que no máximo 48 pessoas apareçam. Como calcular diretamente a soma das probabilidades para S = 0 até S = 48 pode ser complicado, vamos usar a aproximação normal. Primeiro, calculamos o valor Z que padroniza nosso valor:
Z = 48 + 0.5 - 452.121 approx 3.52.121 approx 1.649
Aqui, adicionamos 0.5 para aplicar a correção de continuidade, que melhora a precisão da aproximação.

Passo 5

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a Z = 1.649. Isso corresponde a uma probabilidade acumulada de aproximadamente 0.95 ou 95%.

Resposta

A probabilidade de que todas as pessoas que comparecem consigam de fato viajar é de aproximadamente 95%.

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