Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades .
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
b) Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 4 unidades². Temos uma amostra de 10 valores: 7,9; 6,8; 5,4; 7,5; 7,9; 6,4; 8,0; 6,3; 4,4; 5,9. O objetivo é determinar o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Então, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos somar esses valores:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos determinar o erro padrão da média. O erro padrão (EP) é dado por:
Onde:
  • é o desvio padrão da população. Como a variância é 4, o desvio padrão é .
  • é o tamanho da amostra, aqui .
Então,

Passo 4

Como a variância da população é conhecida e a distribuição é normal, podemos usar a distribuição Z para construir o intervalo de confiança. Para um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico .
Um nível de confiança de 90% significa que , então .
Consultando a tabela Z, encontramos que:

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro (ME) usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança para a média:
Isso nos dá:

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a resistência média do material é entre 5,61 e 7,69 unidades.

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c) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, nāo seja superior a 0,1 unidade com probabilidade 0,90 ? E se quiséssemos um erro máximo de 0,01 unidade com a mesma probabilidade?