Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades ^2.
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
llllllllll 7,9 & 6,8 & 5,4 & 7,5 & 7,9 & 6,4 & 8,0 & 6,3 & 4,4 & 5,9
b) Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança de 100(1-alpha)=90 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre resistência de um material que segue uma distribuição normal com variância igual a 4 unidades². Temos uma amostra de 10 valores: 7,9; 6,8; 5,4; 7,5; 7,9; 6,4; 8,0; 6,3; 4,4; 5,9. O objetivo é determinar o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 90%. Então, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 7,9 + 6,8 + 5,4 + 7,5 + 7,9 + 6,4 + 8,0 + 6,3 + 4,4 + 5,910
Vamos somar esses valores:
7,9 + 6,8 = 14,7 14,7 + 5,4 = 20,1 20,1 + 7,5 = 27,6 27,6 + 7,9 = 35,5 35,5 + 6,4 = 41,9 41,9 + 8,0 = 49,9 49,9 + 6,3 = 56,2 56,2 + 4,4 = 60,6 60,6 + 5,9 = 66,5
Então,
barx = 66,510 = 6,65

Passo 3

Agora, precisamos determinar o erro padrão da média. O erro padrão (EP) é dado por:
EP = sigmaraizn
Onde:
  • EP = 2raiz10 approx 23,1623 approx 0,6325 é o desvio padrão da população. Como a variância é 4, o desvio padrão é .
  • é o tamanho da amostra, aqui .
Então,

Passo 4

Como a variância da população é conhecida e a distribuição é normal, podemos usar a distribuição Z para construir o intervalo de confiança. Para um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico Z0,05 approx 1,645 .
Um nível de confiança de 90% significa que , então .
Consultando a tabela Z, encontramos que:

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = Zalpha/2 times EP
Substituindo os valores:
ME = 1,645 times 0,6325 approx 1,040

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança para a média:
barx pm ME = 6,65 pm 1,040
Isso nos dá:
6,65 - 1,040 = 5,61 6,65 + 1,040 = 7,69

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a resistência média do material é entre 5,61 e 7,69 unidades.

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