Quantas funções não-decrescentes existem do conjunto para o conjunto ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantas funções não-decrescentes existem do conjunto para o conjunto . Isso significa que queremos contar todas as maneiras de atribuir valores do segundo conjunto para os do primeiro, de forma que os valores não diminuam conforme avançamos nos elementos do primeiro conjunto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especialmente combinações com repetição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função não-decrescente. Uma função é não-decrescente se, para quaisquer em , temos em . No nosso caso, isso significa que se escolhermos dois números no conjunto onde o segundo é maior ou igual ao primeiro, o valor da função no segundo número deve ser maior ou igual ao valor no primeiro.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como contar essas funções. Uma maneira eficiente é usar o conceito de combinações com repetição. A ideia é que estamos escolhendo 5 valores (um para cada elemento de ) de um conjunto de 4 possibilidades ( ), onde os valores podem se repetir e devem estar em ordem não-decrescente.
A fórmula para combinações com repetição é:
onde é o número de elementos a serem escolhidos (no caso, 5) e é o número de opções disponíveis (no caso, 4).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores específicos:
Agora, calculamos o valor de .

Passo 5

Calculando :

Resposta

Existem 56 funções não-decrescentes do conjunto para o conjunto .

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