Quantos números hexadecimais de comprimento 10 possuem exatamente 5 algarismos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para descobrir quantos números hexadecimais de comprimento 10 possuem exatamente 5 algarismos. Aqui, “números hexadecimais” são aqueles que usam os símbolos de 0 a 9 e as letras de A a F, totalizando 16 possibilidades para cada posição. Precisamos usar conceitos de combinações e potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter exatamente 5 algarismos. Nesse contexto, queremos que exatamente 5 das 10 posições sejam ocupadas por números de 0 a 9, e as outras 5 por letras de A a F. Então, nosso primeiro passo é escolher quais 5 posições serão os algarismos numéricos.

Passo 3

Para escolher 5 posições dentre 10, usamos a fórmula de combinação, que é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, C(10, 5) = 10!5! times 5! = 252 e . Calculando:
Então, há 252 maneiras de escolher quais 5 posições serão os algarismos.

Passo 4

Agora, para cada uma dessas 5 posições escolhidas para os números, temos 10 possibilidades (de 0 a 9). E para as outras 5 posições que serão letras, temos 6 possibilidades (de A a F).
Então, para os algarismos:
10^5 = 100,000
E para as letras:
6^5 = 7,776

Passo 5

Finalmente, para encontrar o total de números possíveis, multiplicamos o número de maneiras de escolher as posições pela quantidade de combinações possíveis para os algarismos e as letras:
252 times 100,000 times 7,776 = 195,955,200,000

Resposta

Existem 195.955.200.000 números hexadecimais de comprimento 10 que possuem exatamente 5 algarismos.

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