Quantas funções não-decrescentes existem do conjunto 1,2,3,4 para o conjunto 1,2,3,4,5 ?

Passo 1

Ok, vamos lá! Você quer descobrir quantas funções não-decrescentes existem de um conjunto com os elementos 1,2,3,4 para outro conjunto com os elementos 1,2,3,4,5. Aqui, estamos trabalhando com combinatória, especificamente com combinações com repetição. Para resolver isso, vamos usar um método que ajuda a contar essas funções de maneira organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função não-decrescente. Isso quer dizer que se você pegar dois elementos do primeiro conjunto, digamos 1 e 2, a imagem de 1 deve ser menor ou igual à imagem de 2. Ou seja, se f(1) = a e f(2) = b, então a <= b. Isso se aplica para todos os pares de elementos no conjunto 1,2,3,4.

Passo 3

Agora, para contar todas essas funções, podemos pensar nas imagens como uma sequência de números onde cada número é maior ou igual ao anterior. Por exemplo, uma sequência possível é (1,1,2,5), onde cada número é igual ou maior que o anterior.

Passo 4

Para contar todas essas sequências, usamos o conceito de combinações com repetição, que nos ajuda a contar o número de maneiras de escolher elementos com possíveis repetições e sem considerar a ordem. A fórmula para isso é:
C(m + n - 1, n)
onde:
  • m é o número de elementos no conjunto de destino (neste caso, 5),
  • n é o número de elementos no conjunto de origem (neste caso, 4).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
C(5 + 4 - 1, 4) = C(8, 4)
Agora, vamos calcular C(8, 4), que é o número de combinações de 8 elementos tomados 4 a 4.

Passo 6

Calculando C(8, 4) usando a fórmula de combinação:
C(8, 4) = 8!4! times (8-4)! = 4032024 times 24 = 40320576 = 70

Resposta

Existem 70 funções não-decrescentes do conjunto 1,2,3,4 para o conjunto 1,2,3,4,5.

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