Quantas funções não-decrescentes existem do conjunto
para o conjunto
?
Passo 1
Ok, vamos lá! Você quer descobrir quantas funções não-decrescentes existem de um conjunto com os elementos
para outro conjunto com os elementos
. Aqui, estamos trabalhando com combinatória, especificamente com combinações com repetição. Para resolver isso, vamos usar um método que ajuda a contar essas funções de maneira organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função não-decrescente. Isso quer dizer que se você pegar dois elementos do primeiro conjunto, digamos 1 e 2, a imagem de 1 deve ser menor ou igual à imagem de 2. Ou seja, se
e
, então
. Isso se aplica para todos os pares de elementos no conjunto
.
Passo 3
Agora, para contar todas essas funções, podemos pensar nas imagens como uma sequência de números onde cada número é maior ou igual ao anterior. Por exemplo, uma sequência possível é
, onde cada número é igual ou maior que o anterior.
Passo 4
Para contar todas essas sequências, usamos o conceito de combinações com repetição, que nos ajuda a contar o número de maneiras de escolher elementos com possíveis repetições e sem considerar a ordem. A fórmula para isso é:
onde:
-
é o número de elementos no conjunto de destino (neste caso, 5), -
é o número de elementos no conjunto de origem (neste caso, 4).
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Agora, vamos calcular
, que é o número de combinações de 8 elementos tomados 4 a 4.
Passo 6
Calculando
usando a fórmula de combinação:
Resposta
Existem 70 funções não-decrescentes do conjunto
para o conjunto
.
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?