Suponha que você está deitado na praia, perto do Equador, vendo o sol se pôr em um mar calmo e, liga um cronômetro no momento em que o sol desaparece. em seguida, você se levanta, deslocando os olhos para cima de uma distância H = 1,70 m e desliga o cronômetro no momento em que o sol desaparece novamente. Se o tempo indicado pelo cronômetro é t = 11,1 s, qual é o raio da terra?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Você está assistindo o pôr do sol na praia e decide fazer uma medição: você liga um cronômetro quando o sol desaparece no horizonte, se levanta até uma altura de 1,70 metros e desliga o cronômetro quando o sol desaparece novamente. O tempo registrado foi de 11,1 segundos. A questão quer saber qual é o raio da Terra com base nessas informações.
Vamos resolver isso usando conceitos de geometria e movimento da Terra. Precisaremos considerar como a altura dos olhos influencia o tempo que leva para o sol “sumir” do horizonte devido à curvatura da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Terra é aproximadamente esférica, e por isso, quando você se eleva, consegue “ver” um pouco mais além do horizonte. A distância até o horizonte muda com a altura dos olhos. A fórmula para calcular essa distância $ d $ é:
Onde:
- $ R $ é o raio da Terra que queremos encontrar.
- $ H $ é a altura dos olhos acima do nível do mar, que no caso é 1,70 metros.
Passo 3
Agora, vamos considerar o movimento da Terra. A Terra gira uma vez a cada 24 horas, ou seja, 86400 segundos. Isso significa que a velocidade de rotação na linha do Equador pode ser calculada pela circunferência da Terra dividida pelo tempo de rotação.
A circunferência $ C $ é dada por:
Então, a velocidade linear $ v $ na linha do Equador é:
Onde $ T = 86400 $ segundos é o período de rotação da Terra.
Passo 4
O tempo que o sol demora para “sumir” do horizonte devido à elevação dos olhos é o tempo que você registra no cronômetro, que é 11,1 segundos. Esse tempo está relacionado à distância extra que você consegue ver quando se eleva.
A distância extra $ d $ que você vê quando se levanta até a altura $ H $ é exatamente a distância até o horizonte extra que foi calculada na Passo 2. Essa distância é percorrida pela Terra enquanto o sol parece desaparecer, então podemos relacionar isso ao tempo registrado pelo cronômetro.
Portanto:
Substituindo as expressões de $ d $ e $ v $:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para resolver $ R $. Primeiro, reescrevemos a expressão:
Agora, isolamos $ R $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2 \pi R $:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por $ R $:
Finalmente, isolamos $ R $:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ H = 1,70 $ metros
- $ t = 11,1 $ segundos
- $ \pi \approx 3,1416 $
Então:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- Calculando $ 86400^2 $:
- Calculando $ (3,1416)^2 $:
- Calculando $ (11,1)^2 $:
- Multiplicando os valores no numerador:
- Multiplicando os valores no denominador:
- Finalmente, dividindo numerador pelo denominador:
Resposta
O raio da Terra calculado é aproximadamente
metros.