Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz real. Solução:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função
é contínua. Sabemos que
e
são funções contínuas em todo o conjunto dos números reais. A soma ou diferença de funções contínuas também é contínua, então
é contínua em qualquer intervalo.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo
e assume valores de sinais opostos em
e
, então ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Vamos escolher dois pontos simples para testar:
- Quando
: - Quando
:
Passo 5
Observamos que
e
. Como
é contínua no intervalo
e muda de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Resposta
Portanto, a função
possui pelo menos uma raiz real no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites: (e) (9 pontos)
.
(b) (10 pontos) Prove, usando a definição de limite, que
PARA OS ALUNOS DE MF:
Calcule:
Calcule:
Em quais intervalos as funções são contínuas
.