Calcule os seguintes limites: (e) (9 pontos)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo que analisa o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites laterais (neste caso, quando
se aproxima de 2 pela esquerda) e como trabalhar com frações que podem resultar em indeterminações ou valores infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Observando o numerador
, podemos fatorar o 3:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, a expressão do limite simplificada é
. Vamos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
).
Quando
se aproxima de 2 pela esquerda,
está um pouco menor que 2, então
é um número pequeno positivo. À medida que
chega mais perto de 2,
se aproxima de 0, mas permanece positivo.
Passo 4
Com isso, a fração
vai ficar cada vez maior, porque estamos dividindo 3 por um número que está se aproximando de 0. Como
é positivo e está se tornando muito pequeno, o valor da fração tende ao infinito positivo.
Resposta
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(b) (10 pontos) Prove, usando a definição de limite, que
(a) (5 pontos) Admitindo que
, mostre que
Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz real. Solução:
PARA OS ALUNOS DE MF:
Calcule:
Calcule: