anéis. Defina:
a) Prove que
é homomorfismo.
b) Prove que
é sobrejetor.
c) Determine
.
d) Identifique
b) Prove que
c) Determine
d) Identifique
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre anéis
e
e define a função de projeção
que pega um par
e retorna apenas o
. Vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis, o que significa uma função ser sobrejetora, como encontrar o núcleo de uma função e o que é o quociente de anéis. Vamos por partes!
Passo 2
a) Provar que
é um homomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para uma função
ser um homomorfismo de anéis, deve satisfazer:
Agora, vamos ver se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Verificando a adição:
Então,
.
Passo 4
Verificando a multiplicação:
Então,
.
Passo 5
Como
preserva tanto a adição quanto a multiplicação, podemos concluir que
é de fato um homomorfismo de anéis.
Passo 6
b) Provar que
é sobrejetora.
Ser sobrejetor (ou surjetora) significa que para todo elemento
, existe pelo menos um par
tal que
.
Passo 7
Dado qualquer
, podemos escolher qualquer elemento
(por exemplo,
), e formar o par
. Então:
Isso mostra que para todo
, existe um
que mapeia para
. Portanto,
é sobrejetora.
Passo 8
c) Determinar
.
O núcleo de um homomorfismo de anéis
, denotado por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para o elemento neutro de
, que nesse caso é
.
Passo 9
Aplicando a definição:
Então,
. Logo, o núcleo é:
Passo 10
d) Identificar
.
O quociente
consiste nas classes laterais de
em
. Cada classe é da forma
.
Passo 11
Vamos descrever essas classes:
Isso significa que cada classe é determinada apenas pelo valor de
, já que
pode variar em
.
Passo 12
Portanto, podemos identificar
com o anel
, onde cada classe corresponde a um único elemento de
.
Resposta
a)
é um homomorfismo de anéis.
b)
é sobrejetora.
c)
.
d)
é isomorfo a
.
Exercícios relacionados
Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo
é
.
Fixe
. Prove que são equivalentes:
a) é um número primo.
b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
a)
b) (
c) § é um ideal maximal.
Mostre que o único homomorfismo não-nulo
é
.
Mostre que
é contínua
não é domínio.