anéis. Defina:
a) Prove que é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre anéis e e define a função de projeção que pega um par e retorna apenas o . Vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis, o que significa uma função ser sobrejetora, como encontrar o núcleo de uma função e o que é o quociente de anéis. Vamos por partes!

Passo 2

a) Provar que é um homomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para uma função ser um homomorfismo de anéis, deve satisfazer:
Agora, vamos ver se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a adição:
Então, .

Passo 4

Verificando a multiplicação:
Então, .

Passo 5

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação, podemos concluir que é de fato um homomorfismo de anéis.

Passo 6

b) Provar que é sobrejetora.
Ser sobrejetor (ou surjetora) significa que para todo elemento , existe pelo menos um par tal que .

Passo 7

Dado qualquer , podemos escolher qualquer elemento (por exemplo, ), e formar o par . Então:
Isso mostra que para todo , existe um que mapeia para . Portanto, é sobrejetora.

Passo 8

c) Determinar .
O núcleo de um homomorfismo de anéis , denotado por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para o elemento neutro de , que nesse caso é .

Passo 9

Aplicando a definição:
Então, . Logo, o núcleo é:

Passo 10

d) Identificar .
O quociente consiste nas classes laterais de em . Cada classe é da forma .

Passo 11

Vamos descrever essas classes:
Isso significa que cada classe é determinada apenas pelo valor de , já que pode variar em .

Passo 12

Portanto, podemos identificar com o anel , onde cada classe corresponde a um único elemento de .

Resposta

a) é um homomorfismo de anéis.
b) é sobrejetora.
c) .
d) é isomorfo a .

Exercícios relacionados

Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo é .
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a) é um número primo.
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