A, B anéis. Defina:
piA: A times B & A (a, b) & mapsto a
a) Prove que piA é homomorfismo.
b) Prove que piA é sobrejetor.
c) Determine N(piA).
d) Identifique (A times B) / N(piA)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre anéis e e define a função de projeção que pega um par e retorna apenas o . Vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis, o que significa uma função ser sobrejetora, como encontrar o núcleo de uma função e o que é o quociente de anéis. Vamos por partes!

Passo 2

a) Provar que f(a + b) = f(a) + f(b) e f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) para todo a, b in R é um homomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para uma função ser um homomorfismo de anéis, deve satisfazer:
Agora, vamos ver se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a adição:
piA((a1, b1) + (a2, b2)) = piA(a1 + a2, b1 + b2) = a1 + a2
piA(a1, b1) + piA(a2, b2) = a1 + a2
Então, .

Passo 4

Verificando a multiplicação:
piA((a1, b1) cdot (a2, b2)) = piA(a1a2, b1b2) = a1a2
piA(a1, b1) cdot piA(a2, b2) = a1 cdot a2
Então, .

Passo 5

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação, podemos concluir que é de fato um homomorfismo de anéis.

Passo 6

b) Provar que é sobrejetora.
Ser sobrejetor (ou surjetora) significa que para todo elemento , existe pelo menos um par tal que .

Passo 7

Dado qualquer piA(a, b) = a , podemos escolher qualquer elemento (por exemplo, ), e formar o par . Então:
Isso mostra que para todo , existe um que mapeia para . Portanto, é sobrejetora.

Passo 8

c) Determinar N(piA) = (a, b) in A times B | piA(a, b) = 0 .
O núcleo de um homomorfismo de anéis , denotado por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para o elemento neutro de , que nesse caso é .

Passo 9

Aplicando a definição:
piA(a, b) = a = 0
Então, N(piA) = (0, b) | b in B = 0 times B . Logo, o núcleo é:

Passo 10

d) Identificar .
O quociente consiste nas classes laterais de em . Cada classe é da forma .

Passo 11

Vamos descrever essas classes:
(a, b) + N(piA) = (a + 0, b + b') | b' in B = (a, b + b') | b' in B
Isso significa que cada classe é determinada apenas pelo valor de , já que pode variar em .

Passo 12

Portanto, podemos identificar com o anel , onde cada classe corresponde a um único elemento de .

Resposta

a) é um homomorfismo de anéis.
b) é sobrejetora.
c) .
d) é isomorfo a .

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