Fixe . Prove que são equivalentes:
a) é um número primo.
b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que três afirmações são equivalentes para um número natural fixo :
a) é um número primo.
b) é um ideal primo.
c) é um ideal maximal.
Vamos precisar entender o que são números primos, ideais primos e ideais maximais, além de como elas se relacionam no contexto dos anéis, especialmente nos inteiros .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número é primo se ele for maior que 1 e tiver exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5 são primos.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um ideal em um anel. No caso, estamos trabalhando com o anel dos inteiros . Um ideal em é o conjunto de todos os múltiplos de , ou seja, .

Passo 4

Um ideal é chamado de ideal primo se, sempre que um produto está em , pelo menos um dos elementos ou está em . Isso é semelhante à definição de número primo, onde se divide um produto, ele divide pelo menos um dos fatores.

Passo 5

Um ideal é chamado de ideal maximal se ele é um ideal próprio (não é o próprio anel) e não há nenhum outro ideal que contenha além do anel inteiro . Em outras palavras, está “no topo” da cadeia de ideais.

Passo 6

Vamos provar que a afirmação a) implica b). Ou seja, se é primo, então é um ideal primo.
Se é primo, então se é múltiplo de , pelo menos um entre ou é múltiplo de . Isso significa que se , então ou . Portanto, satisfaz a definição de ideal primo.

Passo 7

Agora, vamos provar que b) implica a). Ou seja, se é um ideal primo, então é primo.
Assumindo que é um ideal primo, se não fosse primo, ele poderia ser escrito como com não divisores de . Nesse caso, , mas nem nem estariam em , o que contraria a definição de ideal primo. Portanto, deve ser primo.

Passo 8

Agora, vamos conectar a afirmação c). Vamos provar que a) implica c). Se é primo, então é um ideal maximal.
Sabemos que em , os ideais maximais são exatamente os ideais primos. Como já provamos que se é primo, é um ideal primo, e em ideal primo implica ideal maximal, logo é maximal.

Passo 9

Por fim, vamos provar que c) implica a). Ou seja, se é um ideal maximal, então é primo.
Se é maximal, ele é, portanto, primo. E já vimos que se é um ideal primo, então é primo. Portanto, é primo.

Resposta

Assim, mostramos que as afirmações a), b) e c) são equivalentes. Ou seja, para um número :
  • é primo;
  • é um ideal primo;
  • é um ideal maximal.
Todas essas afirmações são equivalentes entre si.

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(ii) é um ideal maximal.
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