Fixe
. Prove que são equivalentes:
a)
é um número primo.
b) (
) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
a)
b) (
c) § é um ideal maximal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que três afirmações são equivalentes para um número natural fixo
:
a)
é um número primo.
b)
é um ideal primo.
c)
é um ideal maximal.
Vamos precisar entender o que são números primos, ideais primos e ideais maximais, além de como elas se relacionam no contexto dos anéis, especialmente nos inteiros
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número
é primo se ele for maior que 1 e tiver exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5 são primos.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um ideal em um anel. No caso, estamos trabalhando com o anel dos inteiros
. Um ideal
em
é o conjunto de todos os múltiplos de
, ou seja,
.
Passo 4
Um ideal
é chamado de ideal primo se, sempre que um produto
está em
, pelo menos um dos elementos
ou
está em
. Isso é semelhante à definição de número primo, onde se
divide um produto, ele divide pelo menos um dos fatores.
Passo 5
Um ideal
é chamado de ideal maximal se ele é um ideal próprio (não é o próprio anel) e não há nenhum outro ideal que contenha
além do anel inteiro
. Em outras palavras,
está “no topo” da cadeia de ideais.
Passo 6
Vamos provar que a afirmação a) implica b). Ou seja, se
é primo, então
é um ideal primo.
Se
é primo, então se
é múltiplo de
, pelo menos um entre
ou
é múltiplo de
. Isso significa que se
, então
ou
. Portanto,
satisfaz a definição de ideal primo.
Passo 7
Agora, vamos provar que b) implica a). Ou seja, se
é um ideal primo, então
é primo.
Assumindo que
é um ideal primo, se
não fosse primo, ele poderia ser escrito como
com
não divisores de
. Nesse caso,
, mas nem
nem
estariam em
, o que contraria a definição de ideal primo. Portanto,
deve ser primo.
Passo 8
Agora, vamos conectar a afirmação c). Vamos provar que a) implica c). Se
é primo, então
é um ideal maximal.
Sabemos que em
, os ideais maximais são exatamente os ideais primos. Como já provamos que se
é primo,
é um ideal primo, e em
ideal primo implica ideal maximal, logo
é maximal.
Passo 9
Por fim, vamos provar que c) implica a). Ou seja, se
é um ideal maximal, então
é primo.
Se
é maximal, ele é, portanto, primo. E já vimos que se
é um ideal primo, então
é primo. Portanto,
é primo.
Resposta
Assim, mostramos que as afirmações a), b) e c) são equivalentes. Ou seja, para um número
:
-
é primo; -
é um ideal primo; -
é um ideal maximal.
Todas essas afirmações são equivalentes entre si.
Exercícios relacionados
Prove que os corpos
e
não são isomorfos.
Seja
um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).
(i)
(ii)
(iii) Os únicos ideais de
Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo
é
.
a) Prove que
é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique
b) Prove que
c) Determine
d) Identifique