Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo é .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que o único homomorfismo não-nulo de para é a identidade . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a homomorfismos entre estruturas algébricas, especialmente grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo. Em termos simples, um homomorfismo entre dois grupos é uma função que respeita a operação do grupo. No caso de , que consideramos como um grupo aditivo (onde a operação é a soma), um homomorfismo deve satisfazer:

Passo 3

Vamos considerar um homomorfismo não-nulo . Ser não-nulo significa que existe pelo menos um elemento em que não é mapeado para zero pela função .

Passo 4

Vamos determinar o valor de . Sabemos que:
Isso porque preserva a operação de adição repetida (multiplicação por inteiros). Por exemplo, .

Passo 5

Agora, considere um número racional qualquer , onde e . Queremos encontrar .
Sabemos que:
Isso porque:
Portanto, dividindo ambos os lados por , obtemos .

Passo 6

Assim, para todo , temos:
Isso mostra que todo homomorfismo é da forma , onde é uma constante em .

Passo 7

Queremos que seja não-nulo, ou seja, . Além disso, para que seja um homomorfismo válido, ele deve ser injetivo e preservar a operação de adição. A única escolha possível para que satisfaz todas essas condições é .

Resposta

Portanto, o único homomorfismo não-nulo de para é a identidade , definida por:

Exercícios relacionados

Fixe . Prove que são equivalentes:
a) é um número primo.
b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
Prove que os corpos e não são isomorfos.
anéis. Defina:
a) Prove que é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique
Mostre que o único homomorfismo não-nulo é .