Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo
é
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que o único homomorfismo não-nulo de
para
é a identidade
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a homomorfismos entre estruturas algébricas, especialmente grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo. Em termos simples, um homomorfismo entre dois grupos é uma função que respeita a operação do grupo. No caso de
, que consideramos como um grupo aditivo (onde a operação é a soma), um homomorfismo
deve satisfazer:
Passo 3
Vamos considerar um homomorfismo não-nulo
. Ser não-nulo significa que existe pelo menos um elemento em
que não é mapeado para zero pela função
.
Passo 4
Vamos determinar o valor de
. Sabemos que:
Isso porque
preserva a operação de adição repetida (multiplicação por inteiros). Por exemplo,
.
Passo 5
Agora, considere um número racional qualquer
, onde
e
. Queremos encontrar
.
Sabemos que:
Isso porque:
Portanto, dividindo ambos os lados por
, obtemos
.
Passo 6
Assim, para todo
, temos:
Isso mostra que todo homomorfismo
é da forma
, onde
é uma constante em
.
Passo 7
Queremos que
seja não-nulo, ou seja,
. Além disso, para que
seja um homomorfismo válido, ele deve ser injetivo e preservar a operação de adição. A única escolha possível para
que satisfaz todas essas condições é
.
Resposta
Portanto, o único homomorfismo não-nulo de
para
é a identidade
, definida por:
Exercícios relacionados
Fixe
. Prove que são equivalentes:
a) é um número primo.
b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
a)
b) (
c) § é um ideal maximal.
Prove que os corpos
e
não são isomorfos.
a) Prove que
é homomorfismo.
b) Prove que é sobrejetor.
c) Determine .
d) Identifique
b) Prove que
c) Determine
d) Identifique
Mostre que o único homomorfismo não-nulo
é
.