Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo Q Q é i dQ.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que o único homomorfismo não-nulo de Q para Q é a identidade idQ. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a homomorfismos entre estruturas algébricas, especialmente grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo. Em termos simples, um homomorfismo entre dois grupos é uma função que respeita a operação do grupo. No caso de Q, que consideramos como um grupo aditivo (onde a operação é a soma), um homomorfismo f: Q Q deve satisfazer:
f(a + b) = f(a) + f(b) para todo a, b in Q

Passo 3

Vamos considerar um homomorfismo não-nulo f: Q Q. Ser não-nulo significa que existe pelo menos um elemento em Q que não é mapeado para zero pela função f.

Passo 4

Vamos determinar o valor de f(1). Sabemos que:
f(n cdot 1) = n cdot f(1) para todo n in Z
Isso porque f preserva a operação de adição repetida (multiplicação por inteiros). Por exemplo, f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2f(1).

Passo 5

Agora, considere um número racional qualquer mn, onde m, n in Z e n neq 0. Queremos encontrar f(mn).
Sabemos que:
f(mn) = mn cdot f(1)
Isso porque:
n cdot f(mn) = f(n cdot mn) = f(m) = m cdot f(1)
Portanto, dividindo ambos os lados por n, obtemos f(mn) = mn cdot f(1).

Passo 6

Assim, para todo q in Q, temos:
f(q) = q cdot f(1)
Isso mostra que todo homomorfismo f: Q Q é da forma f(q) = q cdot c, onde c = f(1) é uma constante em Q.

Passo 7

Queremos que f seja não-nulo, ou seja, c neq 0. Além disso, para que f seja um homomorfismo válido, ele deve ser injetivo e preservar a operação de adição. A única escolha possível para c que satisfaz todas essas condições é c = 1.

Resposta

Portanto, o único homomorfismo não-nulo de Q para Q é a identidade idQ, definida por:
idQ(q) = q para todo q in Q

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