Considere dois vetores a=(4,0 m) i-(3,0 m) j e b=(6,0 m) i+(8,0 m) j. Quais são (a) a magnitude e ângulo do vetor a (em relação à direção positiva de x )? (b) a magnitude e ângulo do vetor b ? © a magnitude e ângulo do vetor a+b ? (d) a magnitude e ângulo do vetor a-b ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores! A gente vai precisar entender sobre componentes dos vetores, como calcular a magnitude (ou tamanho) e o ângulo de um vetor em relação ao eixo x. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que temos:
  • Vetor a = 4,0, m , i - 3,0, m , j
  • Vetor b = 6,0, m , i + 8,0, m , j
Aqui, i e j representam as direções nos eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a magnitude de um vetor, usamos a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2
onde vx e vy são as componentes nos eixos x e y.

Passo 4

Vamos calcular a magnitude do vetor a:
|a| = raiz4,0^2 + (-3,0)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5,0, m

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo que o vetor faz com o eixo x, usamos a função tangente:
theta = tan^-1(vyvx)
Aplicando para a:
thetaa = tan^-1(-3,04,0) approx -36,87^circ
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo x, podemos dizer que o ângulo é 36,87^circ abaixo do eixo x.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para o vetor b.
Magnitude de b:
|b| = raiz6,0^2 + 8,0^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10,0, m
Ângulo de b:
thetab = tan^-1(8,06,0) approx 53,13^circ
Esse ângulo está acima do eixo x.

Passo 7

Agora, vamos somar os vetores a e b:
a + b = (4,0 + 6,0), i + (-3,0 + 8,0), j = 10,0, i + 5,0, j
Magnitude de a + b:
|a + b| = raiz10,0^2 + 5,0^2 = raiz100 + 25 = raiz125 approx 11,18, m
Ângulo de a + b:
thetaa+b = tan^-1(5,010,0) approx 26,57^circ

Passo 8

Agora, vamos subtrair o vetor b do vetor a:
a - b = (4,0 - 6,0), i + (-3,0 - 8,0), j = -2,0, i - 11,0, j
Magnitude de a - b:
|a - b| = raiz(-2,0)^2 + (-11,0)^2 = raiz4 + 121 = raiz125 approx 11,18, m
Ângulo de a - b:
thetaa-b = tan^-1(-11,0-2,0) = tan^-1(5,5) approx 79,05^circ
Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no terceiro quadrante, então o ângulo total é 180^circ + 79,05^circ = 259,05^circ em relação ao eixo x positivo.

Resposta

(a) Magnitude de a: 5,0, m; Ângulo: 36,87^circ abaixo do eixo x.
(b) Magnitude de b: 10,0, m; Ângulo: 53,13^circ acima do eixo x.
© Magnitude de a + b: 11,18, m; Ângulo: 26,57^circ acima do eixo x.
(d) Magnitude de a - b: 11,18, m; Ângulo: 259,05^circ em relação ao eixo x positivo.

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