Se a, b, c in N e a <= b, então a cdot c <= b cdot c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se são números naturais ( ) e , então . Isso tá relacionado com as propriedades das desigualdades e multiplicação de números naturais. A gente vai precisar lembrar que multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo mantém a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que é pelo menos tão grande quanto .

Passo 3

Como a cdot c <= b cdot c é um número natural, ele é maior ou igual a 1 ( ). Quando a gente multiplica ambos os lados da desigualdade por , que é positivo, a relação da desigualdade não muda. Ou seja:

Passo 4

Então, multiplicando e por , mantemos a desigualdade original porque estamos usando um número positivo na multiplicação.

Resposta

Portanto, se e , então .

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