Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
. Isso envolve entender conceitos de números decimais e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra básica e a ideia de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com ela. Sabemos que
significa uma sequência infinita de 9s após a vírgula:
Passo 3
Vamos chamar essa sequência de
. Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 10 para eliminar a parte decimal:
Passo 5
Perceba que
pode ser escrito como
, que é o próprio
. Então:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Subtraia
de ambos os lados:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por 9:
Passo 8
Lembre-se que definimos
como
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Prove que
.
Se
e
, então
.
Prove que
Prove que
.