Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que . Isso envolve entender conceitos de números decimais e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra básica e a ideia de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com ela. Sabemos que significa uma sequência infinita de 9s após a vírgula:

Passo 3

Vamos chamar essa sequência de . Ou seja,

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 10 para eliminar a parte decimal:

Passo 5

Perceba que pode ser escrito como , que é o próprio . Então:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Subtraia de ambos os lados:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 9:

Passo 8

Lembre-se que definimos como , então:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Prove que .
Se e , então .
Prove que
Prove que .