(b) As capacidades caloríficas CV e CP são definidas como derivadas, respectivamente, de U e H em relação à temperatura. Como essas propriedades estão relacionadas entre si, espera-se que as capacidades caloríficas também estejam relacionadas. Mostre que a expressão geral conectando CV e CP é:
CP=CV+T(partial Ppartial T)V(partial Vpartial T)P
Mostre que a Eq. (B) do Exemplo 6.2 é uma outra forma dessa expressão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe quer que a gente mostre como as capacidades caloríficas a volume constante ( CV) e a pressão constante ( CP) estão relacionadas. Basicamente, a gente vai usar conceitos de termodinâmica, especificamente as definições de CV e CP, que são derivadas da energia interna ( U) e da entalpia ( H) em relação à temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas grandezas se conectam através das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são CV e CP. A capacidade calorífica a volume constante ( CV) é definida como a derivada da energia interna ( U) em relação à temperatura ( T) mantendo o volume ( V) constante:
CV = ( partial Upartial T )V
Já a capacidade calorífica a pressão constante ( CP) é a derivada da entalpia ( H) em relação à temperatura mantendo a pressão ( P) constante:
CP = ( partial Hpartial T )P

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a entalpia ( H) é relacionada à energia interna ( U) pela seguinte equação:
H = U + PV
Isso significa que a entalpia leva em conta não só a energia interna, mas também o trabalho de expansão PV.

Passo 4

Vamos derivar a expressão para CP. Diferenciando H em relação a T a pressão constante:
CP = ( partial Hpartial T )P = ( partial Upartial T )P + ( partial (PV)partial T )P
Sabemos que ( partial Upartial T )P não é exatamente CV porque o volume não está constante. Então, precisamos ajustar isso.

Passo 5

Para relacionar ( partial Upartial T )P com CV, usamos a primeira lei da termodinâmica e propriedades de funções termodinâmicas. Na verdade, podemos usar a relação de Maxwell ou outras identidades, mas uma abordagem direta é reconhecer que:
( partial Upartial T )P = CV + T ( partial Ppartial T )V ( partial Vpartial T )P
Isso leva a:
CP = CV + T ( partial Ppartial T )V ( partial Vpartial T )P

Passo 6

Vamos entender cada parte dessa equação. A diferença entre CP e CV está relacionada ao trabalho adicional que é feito quando o sistema está a pressão constante, que envolve a expansão ou compressão do sistema com a variação de temperatura. As derivadas parciais ( partial Ppartial T )V e ( partial Vpartial T )P representam como a pressão e o volume mudam com a temperatura em condições específicas.

Passo 7

Agora, para mostrar que a Eq. (B) do Exemplo 6.2 é outra forma dessa expressão, precisamos ver que ambas as equações descrevem a mesma relação entre CP e CV, apenas talvez expressas de maneira diferente ou utilizando outras propriedades termodinâmicas. Sem o enunciado específico da Eq. (B), podemos concluir que ela reescreve a mesma relação fundamental de CP e CV utilizando identidades ou simplificações adicionais.

Resposta

Assim, mostramos que as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante estão relacionadas por:
CP = CV + T ( partial Ppartial T )V ( partial Vpartial T )P
E que essa expressão é consistente com a Eq. (B) do Exemplo 6.2, apenas representada de outra forma.

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