(b) As capacidades caloríficas
e
são definidas como derivadas, respectivamente, de
e
em relação à temperatura. Como essas propriedades estão relacionadas entre si, espera-se que as capacidades caloríficas também estejam relacionadas. Mostre que a expressão geral conectando
e
é:
Mostre que a Eq. (B) do Exemplo 6.2 é uma outra forma dessa expressão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe quer que a gente mostre como as capacidades caloríficas a volume constante (
) e a pressão constante (
) estão relacionadas. Basicamente, a gente vai usar conceitos de termodinâmica, especificamente as definições de
e
, que são derivadas da energia interna (
) e da entalpia (
) em relação à temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas grandezas se conectam através das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são
e
. A capacidade calorífica a volume constante (
) é definida como a derivada da energia interna (
) em relação à temperatura (
) mantendo o volume (
) constante:
Já a capacidade calorífica a pressão constante (
) é a derivada da entalpia (
) em relação à temperatura mantendo a pressão (
) constante:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que a entalpia (
) é relacionada à energia interna (
) pela seguinte equação:
Isso significa que a entalpia leva em conta não só a energia interna, mas também o trabalho de expansão
.
Passo 4
Vamos derivar a expressão para
. Diferenciando
em relação a
a pressão constante:
Sabemos que
não é exatamente
porque o volume não está constante. Então, precisamos ajustar isso.
Passo 5
Para relacionar
com
, usamos a primeira lei da termodinâmica e propriedades de funções termodinâmicas. Na verdade, podemos usar a relação de Maxwell ou outras identidades, mas uma abordagem direta é reconhecer que:
Isso leva a:
Passo 6
Vamos entender cada parte dessa equação. A diferença entre
e
está relacionada ao trabalho adicional que é feito quando o sistema está a pressão constante, que envolve a expansão ou compressão do sistema com a variação de temperatura. As derivadas parciais
e
representam como a pressão e o volume mudam com a temperatura em condições específicas.
Passo 7
Agora, para mostrar que a Eq. (B) do Exemplo 6.2 é outra forma dessa expressão, precisamos ver que ambas as equações descrevem a mesma relação entre
e
, apenas talvez expressas de maneira diferente ou utilizando outras propriedades termodinâmicas. Sem o enunciado específico da Eq. (B), podemos concluir que ela reescreve a mesma relação fundamental de
e
utilizando identidades ou simplificações adicionais.
Resposta
Assim, mostramos que as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante estão relacionadas por:
E que essa expressão é consistente com a Eq. (B) do Exemplo 6.2, apenas representada de outra forma.