(a) Fazendo uso do fato de que a Eq. (6.20) é uma expressão diferencial exata, mostre que:
Qual é o resultado da aplicação dessa equação para um gás ideal?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o fato de que a Equação (6.20) é uma expressão diferencial exata para mostrar uma certa relação envolvendo derivadas parciais de
e
. Depois, precisamos aplicar essa equação para um gás ideal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de termodinâmica, especificamente sobre diferenciais exatos e propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma expressão diferencial exata. Em termodinâmica, uma função diferencial é chamada de exata se ela pode ser derivada a partir de uma função potencial. Isso significa que as derivadas parciais mistas são iguais. Ou seja, se temos
como uma diferencial exata, então:
Passo 3
Agora, vamos considerar a Equação (6.20) mencionada no enunciado. Sem precisar saber os detalhes dessa equação específica, sabemos que ela é uma expressão diferencial exata. Isso nos permite aplicar a igualdade das derivadas mistas que acabamos de discutir.
Passo 4
Vamos focar na relação que queremos provar:
Para isso, precisamos entender o que
representa.
é a capacidade calorífica a pressão constante, definida como:
Onde
é a entropia. Usando propriedades de diferenciais exatos e relações termodinâmicas, podemos relacionar
,
(volume) e suas derivadas parciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa relação a um gás ideal. Para um gás ideal, sabemos que a equação de estado é:
Onde
é a pressão,
é o volume,
é o número de mols,
é a constante dos gases e
é a temperatura. Podemos rearranjar essa equação para encontrar
em função de
e
:
Passo 6
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
a pressão constante:
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Resposta
Aplicando a equação para um gás ideal, temos que:
Então, o resultado é que
para um gás ideal.