(a) Fazendo uso do fato de que a Eq. (6.20) é uma expressão diferencial exata, mostre que:
(partial CP / partial P)T=-T(partial^2 V / partial T^2)P
Qual é o resultado da aplicação dessa equação para um gás ideal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o fato de que a Equação (6.20) é uma expressão diferencial exata para mostrar uma certa relação envolvendo derivadas parciais de e . Depois, precisamos aplicar essa equação para um gás ideal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de termodinâmica, especificamente sobre diferenciais exatos e propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expressão diferencial exata. Em termodinâmica, uma função diferencial é chamada de exata se ela pode ser derivada a partir de uma função potencial. Isso significa que as derivadas parciais mistas são iguais. Ou seja, se temos partial Mpartial P = partial Npartial T como uma diferencial exata, então:

Passo 3

Agora, vamos considerar a Equação (6.20) mencionada no enunciado. Sem precisar saber os detalhes dessa equação específica, sabemos que ela é uma expressão diferencial exata. Isso nos permite aplicar a igualdade das derivadas mistas que acabamos de discutir.

Passo 4

Vamos focar na relação que queremos provar:
(partial CPpartial P)T = -T (partial^2 Vpartial T^2)P
Para isso, precisamos entender o que CP = T (partial Spartial T)P representa. é a capacidade calorífica a pressão constante, definida como:
Onde é a entropia. Usando propriedades de diferenciais exatos e relações termodinâmicas, podemos relacionar , (volume) e suas derivadas parciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa relação a um gás ideal. Para um gás ideal, sabemos que a equação de estado é:
PV = nRT
Onde V = nRTP é a pressão, é o volume, é o número de mols, é a constante dos gases e é a temperatura. Podemos rearranjar essa equação para encontrar em função de e :

Passo 6

Vamos calcular a segunda derivada de (partial^2 Vpartial T^2)P em relação a (partial Vpartial T)P = nRP a pressão constante:
(partial^2 Vpartial T^2)P = 0
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Resposta

Aplicando a equação para um gás ideal, temos que:
(partial CPpartial P)T = -T times 0 = 0
Então, o resultado é que para um gás ideal.

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