Obtenha expressões para G^R, H^R e S^R utilizando a equação de estado van der Waals, Eq. (3.41).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar expressões para , e usando a equação de estado de van der Waals, que é a Eq. (3.41). Isso está na área de Termodinâmica, mais especificamente no estudo de gases reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas grandezas residuais ( , , ) e como a equação de van der Waals descreve o comportamento de um gás real comparado ao gás ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals. Ela é uma correção da equação dos gases ideais, considerando as interações entre as moléculas e o volume ocupado pelas moléculas do gás. A forma geral é:
(P + aVm^2)(Vm - b) = RT
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume molar,
  • é a temperatura,
  • é a constante dos gases,
  • e são constantes características do gás.

Passo 3

Agora, as grandezas , e representam as propriedades residuais de Gibbs, entalpia e entropia, respectivamente. Essas propriedades residuais são as diferenças entre os valores das propriedades para um gás real e um gás ideal nas mesmas condições de temperatura e pressão. Elas medem o quanto o comportamento do gás real se desvia do ideal.

Passo 4

Para encontrar essas expressões, precisamos usar as relações termodinâmicas que ligam as propriedades termodinâmicas às derivadas da energia livre de Helmholtz ou Gibbs. No caso da energia livre de Helmholtz ( A = U - TS ), a relação com a energia interna é:
Mas, para nossos propósitos, vamos focar diretamente nas expressões para as propriedades residuais em termos da equação de van der Waals.

Passo 5

A expressão geral para a energia livre de Gibbs residual G^R = RT ln(Vm - bVm) - aVm pode ser obtida integrando a diferença entre as pressões do gás real e do gás ideal em relação ao volume. Usando a equação de van der Waals, temos:

Passo 6

Para a entalpia residual H^R = aVm - a bVm^2 , observamos que ela está relacionada à energia interna residual e ao trabalho PV residual. A expressão fica:
Isso leva em conta as interações intermoleculares que a equação de van der Waals considera.

Passo 7

Finalmente, para a entropia residual S^R = R ln(Vm - bVm) - a bT Vm^2 , que mede a diferença na desordem entre o gás real e o ideal, a expressão é:
Essa expressão reflete como as interações e o volume das moléculas afetam a desordem do sistema.

Resposta

As expressões para as propriedades residuais usando a equação de van der Waals são:
G^R = RT ln(Vm - bVm) - aVm
H^R = aVm - a bVm^2
S^R = R ln(Vm - bVm) - a bT Vm^2

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