Obtenha expressões para
e
utilizando a equação de estado van der Waals, Eq. (3.41).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar expressões para
,
e
usando a equação de estado de van der Waals, que é a Eq. (3.41). Isso está na área de Termodinâmica, mais especificamente no estudo de gases reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas grandezas residuais (
,
,
) e como a equação de van der Waals descreve o comportamento de um gás real comparado ao gás ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals. Ela é uma correção da equação dos gases ideais, considerando as interações entre as moléculas e o volume ocupado pelas moléculas do gás. A forma geral é:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume molar, -
é a temperatura, -
é a constante dos gases, -
e são constantes características do gás.
Passo 3
Agora, as grandezas
,
e
representam as propriedades residuais de Gibbs, entalpia e entropia, respectivamente. Essas propriedades residuais são as diferenças entre os valores das propriedades para um gás real e um gás ideal nas mesmas condições de temperatura e pressão. Elas medem o quanto o comportamento do gás real se desvia do ideal.
Passo 4
Para encontrar essas expressões, precisamos usar as relações termodinâmicas que ligam as propriedades termodinâmicas às derivadas da energia livre de Helmholtz ou Gibbs. No caso da energia livre de Helmholtz (
), a relação com a energia interna
é:
Mas, para nossos propósitos, vamos focar diretamente nas expressões para as propriedades residuais em termos da equação de van der Waals.
Passo 5
A expressão geral para a energia livre de Gibbs residual
pode ser obtida integrando a diferença entre as pressões do gás real e do gás ideal em relação ao volume. Usando a equação de van der Waals, temos:
Passo 6
Para a entalpia residual
, observamos que ela está relacionada à energia interna residual e ao trabalho PV residual. A expressão fica:
Isso leva em conta as interações intermoleculares que a equação de van der Waals considera.
Passo 7
Finalmente, para a entropia residual
, que mede a diferença na desordem entre o gás real e o ideal, a expressão é:
Essa expressão reflete como as interações e o volume das moléculas afetam a desordem do sistema.
Resposta
As expressões para as propriedades residuais usando a equação de van der Waals são: