(b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você enviou:
Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, podemos encontrar uma função potencial que nos facilita o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
que está sendo integrado:
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a segunda condição também é satisfeita.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a terceira condição também é satisfeita.
Passo 6
Como todas as condições foram satisfeitas, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar essa função potencial integrando as componentes de
.
Passo 7
Integrando a primeira componente de
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 9
Finalmente, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira componente de
:
Isso nos dá:
Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.
Resposta
A função potencial é:
Assim, a integral de linha é igual à diferença de
nos pontos finais de
.
Exercícios relacionados
Calcule
nos casos abaixo.
Mostre que não existe um campo vetorial
tal que
Calcule
nos casos abaixo.
Calcule
nos casos abaixo.