(b) Determine
integralC 2 x e^2 y d x+(2 x^2 e^2 y+2 y cotg z) d y-y^2 cossec^2 z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você enviou:
integralC 2 x e^2 y , dx + (2 x^2 e^2 y + 2 y cot z ) dy - y^2 csc^2 z , dz
Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, podemos encontrar uma função potencial que nos facilita o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F = (2 x e^2 y,, 2 x^2 e^2 y + 2 y cot z,, - y^2 csc^2 z ) que está sendo integrado:
partial F1partial y = partial F2partial x, partial F1partial z = partial F3partial x, e partial F2partial z = partial F3partial y
Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando partialpartial y (2 x e^2 y) = 4 x e^2 y :
partialpartial x (2 x^2 e^2 y + 2 y cot z) = 4 x e^2 y
Calculando :
Como , a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Calculando partialpartial z (2 x e^2 y) = 0 :
partialpartial x (- y^2 csc^2 z ) = 0
Calculando :
Como , a segunda condição também é satisfeita.

Passo 5

Calculando partialpartial z (2 x^2 e^2 y + 2 y cot z) = 2 y (-csc^2 z) = -2 y csc^2 z :
partialpartial y (- y^2 csc^2 z ) = -2 y csc^2 z
Calculando :
Como , a terceira condição também é satisfeita.

Passo 6

Como todas as condições foram satisfeitas, podemos concluir que o campo vetorial F = nabla phi é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar essa função potencial integrando as componentes de .

Passo 7

Integrando a primeira componente de phi(x, y, z) = integral 2 x e^2 y , dx = x^2 e^2 y + g(y, z) em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 8

Agora, derivamos partial phipartial y = 2 x^2 e^2 y + partial gpartial y = 2 x^2 e^2 y + 2 y cot z em relação a partial gpartial y = 2 y cot z e igualamos à segunda componente de g(y, z) = y^2 cot z + h(z) :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 9

Finalmente, derivamos partial phipartial z = y^2 (-csc^2 z) + h'(z) = - y^2 csc^2 z em relação a h'(z) = 0 implies h(z) = constante e igualamos à terceira componente de :
Isso nos dá:
Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.

Resposta

A função potencial é:
phi(x, y, z) = x^2 e^2 y + y^2 cot z
Assim, a integral de linha é igual à diferença de nos pontos finais de .

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