(b) Determine o limite .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo fatoriais e raízes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e a aproximação de Stirling para fatoriais.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o trabalho com a raiz -ésima e o fatorial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados do limite. Lembrando que , isso vai simplificar a expressão.
Então, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Para calcular , podemos usar a aproximação de Stirling, que é uma fórmula que estima o valor de para valores grandes de . A aproximação de Stirling é:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar a expressão de sem precisar calcular o fatorial diretamente, o que seria complicado para valores grandes.

Passo 4

Agora, substituímos a aproximação de Stirling na nossa expressão:
Então, o limite que queremos calcular agora é:
À medida que cresce, também cresce sem limite, então esse limite tende a infinito:

Passo 5

Lembrando que aplicamos o logaritmo no início, precisamos agora voltar ao nosso limite original. Sabemos que:
Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial, já que implica que .

Resposta

Então, o limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(d)
Derive a função.
(q)
© Determine o limite .