(b) Determine o limite
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo fatoriais e raízes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e a aproximação de Stirling para fatoriais.
Passo 2
Primeiro, para facilitar o trabalho com a raiz
-ésima e o fatorial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados do limite. Lembrando que
, isso vai simplificar a expressão.
Então, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para calcular
, podemos usar a aproximação de Stirling, que é uma fórmula que estima o valor de
para valores grandes de
. A aproximação de Stirling é:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar a expressão de
sem precisar calcular o fatorial diretamente, o que seria complicado para valores grandes.
Passo 4
Agora, substituímos a aproximação de Stirling na nossa expressão:
Então, o limite que queremos calcular agora é:
À medida que
cresce,
também cresce sem limite, então esse limite tende a infinito:
Passo 5
Lembrando que aplicamos o logaritmo no início, precisamos agora voltar ao nosso limite original. Sabemos que:
Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial, já que
implica que
.
Resposta
Então, o limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(d)
(d)
Derive a função.
(q)
(q)
© Determine o limite
.