(b) Determine o limite lim n infty raiz[n]n !.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo fatoriais e raízes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e a aproximação de Stirling para fatoriais.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o trabalho com a raiz ln(raiz[n]n!) = ln(n!)n -ésima e o fatorial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados do limite. Lembrando que , isso vai simplificar a expressão.
Então, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Para calcular ln(n!) approx n ln n - n , podemos usar a aproximação de Stirling, que é uma fórmula que estima o valor de para valores grandes de . A aproximação de Stirling é:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar a expressão de sem precisar calcular o fatorial diretamente, o que seria complicado para valores grandes.

Passo 4

Agora, substituímos a aproximação de Stirling na nossa expressão:
ln(n!)n approx n ln n - nn = ln n - 1
Então, o limite que queremos calcular agora é:
limn to infty (ln n - 1)
À medida que limn to infty (ln n - 1) = infty cresce, também cresce sem limite, então esse limite tende a infinito:

Passo 5

Lembrando que aplicamos o logaritmo no início, precisamos agora voltar ao nosso limite original. Sabemos que:
ln(limn to infty raiz[n]n!) = infty
Para encontrar o limite original, usamos a função exponencial, já que implica que .

Resposta

Então, o limite é igual a .

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