Determine a expressão da derivada
-ésima em cada caso.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada
-ésima da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas na cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada da função logarítmica e como aplicar a regra da cadeia quando temos uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Lembra que a derivada de
, onde
é uma função de
, é dada por:
Aqui,
, então vamos derivar
:
Agora, aplicando na fórmula da derivada:
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada
. Pegamos a derivada de
. Podemos reescrever isso como:
Aplicando a regra do poder para derivadas, que diz que
, temos:
Passo 4
Vamos continuar para a terceira derivada
. Derivando
:
Aplicando novamente a regra do poder:
Passo 5
Percebemos um padrão nas derivadas:
Observando isso, podemos generalizar para a
-ésima derivada:
Resposta
A derivada
-ésima de
é:
Exercícios relacionados
Derive a função.
(q)
(q)
Derive a função.
(j)
(j)
(b) Determine o limite
.
© Determine o limite
.