Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada -ésima da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas na cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada da função logarítmica e como aplicar a regra da cadeia quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembra que a derivada de , onde é uma função de , é dada por:
Aqui, , então vamos derivar :
Agora, aplicando na fórmula da derivada:

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada . Pegamos a derivada de . Podemos reescrever isso como:
Aplicando a regra do poder para derivadas, que diz que , temos:

Passo 4

Vamos continuar para a terceira derivada . Derivando :
Aplicando novamente a regra do poder:

Passo 5

Percebemos um padrão nas derivadas:
Observando isso, podemos generalizar para a -ésima derivada:

Resposta

A derivada -ésima de é:

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(q)
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(j)
(b) Determine o limite .
© Determine o limite .