Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso.
(d) f(x) = ln(2x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada n-ésima da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas na cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada da função logarítmica e como aplicar a regra da cadeia quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembra que a derivada de , onde u é uma função de x, é dada por:
Aqui, , então vamos derivar u:
Agora, aplicando na fórmula da derivada:

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada . Pegamos a derivada de . Podemos reescrever isso como:
Aplicando a regra do poder para derivadas, que diz que , temos:

Passo 4

Vamos continuar para a terceira derivada . Derivando :
Aplicando novamente a regra do poder:

Passo 5

Percebemos um padrão nas derivadas:
Observando isso, podemos generalizar para a n-ésima derivada:

Resposta

A derivada n-ésima de é:

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