© Determine o limite lim n infty raiz[n]2^1 2^2 2^3 cdots 2^n.

Passo 1

Então, a gente tem que determinar o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de limites e progressões geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar produtos de potências e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto 2^1 cdot 2^2 cdot 2^3 cdots 2^n = 2^1+2+3+cdots+n . Sabemos que , então podemos somar os expoentes:

Passo 3

Agora, precisamos somar a série 1 + 2 + 3 + cdots + n = n(n+1)2 . Essa é uma soma de uma progressão aritmética onde a soma dos primeiros termos é dada por:

Passo 4

Substituindo a soma na expressão anterior, temos:
2^1+2+3+cdots+n = 2^n(n+1)2
Então, o limite que queremos calcular fica:
limn infty raiz[n]2^n(n+1)2

Passo 5

A raiz raiz[n]2^n(n+1)2 = (2^n(n+1)2)^1n = 2^n+12 -ésima de pode ser escrita como uma potência:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite de n+12 approx n2 quando n infty quando 2^n+12 approx 2^n2 tende ao infinito. Observamos que:
Então, temos:

Passo 7

Sabemos que . Como , à medida que cresce, cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

O limite é infinito.

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