(b) Determine o maior termo no desenvolvimento de
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o maior termo no desenvolvimento de
. Aqui, estamos trabalhando com o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir potências de binômios. Para isso, vamos precisar entender como identificar qual termo da expansão será o maior.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Subtraindo
por
, temos:
Então, a expressão fica
. Porém, para encontrar o maior termo na expansão, vamos considerar a forma geral do binômio.
Passo 3
O Teorema do Binômio nos diz que:
No nosso caso,
,
e
. Portanto, cada termo da expansão é dado por:
Passo 4
Para encontrar o maior termo, vamos analisar os valores absolutos dos termos, já que o sinal pode alternar devido ao
. Assim, consideramos:
Queremos encontrar o valor de
que maximiza
.
Passo 5
Usamos a seguinte fórmula para encontrar o valor de
que maximiza o termo:
onde
e
são os coeficientes do binômio. No nosso caso,
e
. Substituindo:
Passo 6
Portanto,
é o valor que provavelmente dá o maior termo na expansão. Vamos verificar os termos adjacentes para confirmar.
Calculamos
,
e
para garantir que
realmente corresponde ao maior termo.
Após os cálculos, confirmamos que
é maior que
e
.
Resposta
O maior termo no desenvolvimento de
é o 15º termo, correspondente a
.
Exercícios relacionados
O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro
pode ser escrito na forma
, onde os
são números primos e os expoentes
. Por exemplo,
. Determine o número de divisores de
.
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a) ;
(a)
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
(b)