O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro n >= 2 pode ser escrito na forma n=p1^a1 cdots pk^ak, onde os pi são números primos e os expoentes ai >= 1. Por exemplo, 588=2^2 cdot 3^1 cdot 7^2. Determine o número de divisores de n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como encontrar o número de divisores de um número inteiro usando o Teorema Fundamental da Aritmética. Para isso, vamos precisar entender o que é fatoração em números primos e como os expoentes nos ajudam a determinar quantos divisores existem para um dado número.

Passo 2

Primeiro, o Teorema Fundamental da Aritmética diz que qualquer número inteiro maior ou igual a 2 pode ser decomposto em um produto de números primos de forma única, ignorando a ordem. Por exemplo, o número 588 pode ser escrito como . Aqui, os números 2, 3 e 7 são primos, e os expoentes indicam quantas vezes cada primo aparece na fatoração.

Passo 3

Agora, para determinar o número de divisores de um número , usamos os expoentes dos fatores primos na sua fatoração. A regra é a seguinte: se , onde cada é um número primo e cada é um expoente positivo, então o número total de divisores de é dado por .

Passo 4

Vamos aplicar isso ao exemplo dado: . Aqui, temos três fatores primos:
  • com expoente
  • com expoente
  • com expoente

Passo 5

Usando a regra, somamos 1 a cada expoente e multiplicamos os resultados:
(2 + 1) cdot (1 + 1) cdot (2 + 1) = 3 cdot 2 cdot 3 = 18

Passo 6

Portanto, o número 588 tem 18 divisores no total.

Resposta

O número de divisores de é 18.

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