O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro
pode ser escrito na forma
, onde os
são números primos e os expoentes
. Por exemplo,
. Determine o número de divisores de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como encontrar o número de divisores de um número inteiro usando o Teorema Fundamental da Aritmética. Para isso, vamos precisar entender o que é fatoração em números primos e como os expoentes nos ajudam a determinar quantos divisores existem para um dado número.
Passo 2
Primeiro, o Teorema Fundamental da Aritmética diz que qualquer número inteiro maior ou igual a 2 pode ser decomposto em um produto de números primos de forma única, ignorando a ordem. Por exemplo, o número 588 pode ser escrito como
. Aqui, os números 2, 3 e 7 são primos, e os expoentes indicam quantas vezes cada primo aparece na fatoração.
Passo 3
Agora, para determinar o número de divisores de um número
, usamos os expoentes dos fatores primos na sua fatoração. A regra é a seguinte: se
, onde cada
é um número primo e cada
é um expoente positivo, então o número total de divisores de
é dado por .
Passo 4
Vamos aplicar isso ao exemplo dado:
. Aqui, temos três fatores primos:
-
com expoente -
com expoente -
com expoente
Passo 5
Usando a regra, somamos 1 a cada expoente e multiplicamos os resultados:
Passo 6
Portanto, o número 588 tem 18 divisores no total.
Resposta
O número de divisores de
é 18.
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Mostre que
pelos seguintes métodos:
(a) Mostre que e some sobre
;
(a) Mostre que
(d) Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
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;