Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( c ) e ( d ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) binomn0^2-binomn1^2+cdots+(-1)^nbinomnn^2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que calcular uma soma que envolve coeficientes binomiais elevados ao quadrado e com sinais alternados. Especificamente, queremos encontrar o valor de:
binomn0^2 - binomn1^2 + cdots + (-1)^nbinomnn^2
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Binomial e algumas propriedades dos coeficientes binomiais.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o coeficiente binomial sumk=0^n binomnk^2 = binom2nn representa o número de maneiras de escolher elementos entre . Além disso, sabemos que:
Isso significa que a soma dos quadrados dos coeficientes binomiais resulta em outro coeficiente binomial.

Passo 3

Agora, vamos considerar os sinais alternados na nossa soma. A presença de (1 + x)^n cdot (1 - x)^n = (1 - x^2)^n sugere que devemos explorar propriedades que envolvem somas alternadas. Uma técnica útil aqui é utilizar a identidade envolvendo produtos de binômios.
Vamos multiplicar dois binômios usando o Teorema Binomial:
(1 + x)^n = sumk=0^n binomnk x^k
Expandindo os dois binômios separadamente, temos:
(1 - x)^n = sumk=0^n (-1)^k binomnk x^k

Passo 4

Multiplicando essas duas séries, obtemos:
sumk=0^n binomnk x^k cdot sumk=0^n (-1)^k binomnk x^k = sumk=0^2n ( summ=0^k (-1)^m binomnm binomnk - m ) x^k
Por outro lado, sabemos que:
(1 - x^2)^n = sumk=0^n (-1)^k binomnk x^2k

Passo 5

Comparando os coeficientes dos termos semelhantes nas duas expressões, observamos que para obter a soma original com sinais alternados, precisamos considerar apenas os termos onde sumk=0^n (-1)^k binomnk^2 = (-1)^n/2 binomnn/2 & se n é par 0 & se n é ímpar é par ou ímpar.
Após simplificações e reconhecimento das simetrias nos coeficientes, chegamos à conclusão de que:
ééí

Resposta

A soma (-1)^n/2 binomnn/2 & se n for par 0 & se n for ímpar é igual a:
í

Exercícios relacionados