Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que calcular uma soma que envolve coeficientes binomiais elevados ao quadrado e com sinais alternados. Especificamente, queremos encontrar o valor de:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Binomial e algumas propriedades dos coeficientes binomiais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o coeficiente binomial
representa o número de maneiras de escolher
elementos entre
. Além disso, sabemos que:
Isso significa que a soma dos quadrados dos coeficientes binomiais resulta em outro coeficiente binomial.
Passo 3
Agora, vamos considerar os sinais alternados na nossa soma. A presença de
sugere que devemos explorar propriedades que envolvem somas alternadas. Uma técnica útil aqui é utilizar a identidade envolvendo produtos de binômios.
Vamos multiplicar dois binômios usando o Teorema Binomial:
Expandindo os dois binômios separadamente, temos:
Passo 4
Multiplicando essas duas séries, obtemos:
Por outro lado, sabemos que:
Passo 5
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes nas duas expressões, observamos que para obter a soma original com sinais alternados, precisamos considerar apenas os termos onde
é par ou ímpar.
Após simplificações e reconhecimento das simetrias nos coeficientes, chegamos à conclusão de que:
Resposta
A soma
é igual a:
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Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a) ;
(a)
(b) Determine o maior termo no desenvolvimento de
;
(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação
?
© Quantas soluções inteiras não negativas existem para a inequação
?
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.
Observação: números inteiros não negativos são maiores ou iguais a zero, enquanto números inteiros positivos são estritamente maiores que zero.