Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a) ;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a soma dos quadrados dos coeficientes binomiais, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões da forma .

Passo 2

Primeiro, lembramos que o Teorema Binomial nos diz que:
Isso significa que cada termo na expansão de é .

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto de duas expressões binomiais iguais:
Isso simplifica a expressão porque estamos elevando ao quadrado.

Passo 4

Expandindo o produto usando o Teorema Binomial novamente, temos:
Multiplicando os dois somatórios, obtemos:

Passo 5

O coeficiente de na expansão de é . Por outro lado, esse mesmo coeficiente também é igual à soma dos produtos dos coeficientes que resultam em na multiplicação dos dois binômios:

Passo 6

Portanto, igualando as duas expressões para o coeficiente de , temos:

Resposta

A soma é igual a .

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(b) Determine o maior termo no desenvolvimento de ;
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação ?