Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( c ) e ( d ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a) binomn0^2+binomn1^2+cdots+binomnn^2;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a soma dos quadrados dos coeficientes binomiais, ou seja:
binomn0^2 + binomn1^2 + cdots + binomnn^2
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões da forma (a + b)^n.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o Teorema Binomial nos diz que:
(1 + x)^n = sumk=0^n binomnk x^k
Isso significa que cada termo na expansão de (1 + x)^n é binomnk x^k.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto de duas expressões binomiais iguais:
(1 + x)^n cdot (1 + x)^n = (1 + x)^2n
Isso simplifica a expressão porque estamos elevando (1 + x)^n ao quadrado.

Passo 4

Expandindo o produto usando o Teorema Binomial novamente, temos:
(1 + x)^n cdot (1 + x)^n = ( sumk=0^n binomnk x^k ) cdot ( summ=0^n binomnm x^m )
Multiplicando os dois somatórios, obtemos:
sumk=0^2n ( sumi=0^k binomni binomnk-i ) x^k

Passo 5

O coeficiente de x^n na expansão de (1 + x)^2n é binom2nn. Por outro lado, esse mesmo coeficiente também é igual à soma dos produtos dos coeficientes que resultam em x^n na multiplicação dos dois binômios:
sumk=0^n binomnk binomnn - k = sumk=0^n binomnk^2

Passo 6

Portanto, igualando as duas expressões para o coeficiente de x^n, temos:
sumk=0^n binomnk^2 = binom2nn

Resposta

A soma é igual a boxeddbinom2nn.

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