Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(a)
;
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a soma dos quadrados dos coeficientes binomiais, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões da forma
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o Teorema Binomial nos diz que:
Isso significa que cada termo na expansão de
é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto de duas expressões binomiais iguais:
Isso simplifica a expressão porque estamos elevando
ao quadrado.
Passo 4
Expandindo o produto usando o Teorema Binomial novamente, temos:
Multiplicando os dois somatórios, obtemos:
Passo 5
O coeficiente de
na expansão de
é
. Por outro lado, esse mesmo coeficiente também é igual à soma dos produtos dos coeficientes que resultam em
na multiplicação dos dois binômios:
Passo 6
Portanto, igualando as duas expressões para o coeficiente de
, temos:
Resposta
A soma é igual a
.
Exercícios relacionados
(b) Determine o maior termo no desenvolvimento de
;
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(b) ;
(b)
(b) Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação
?