© Quantas sequências binárias de comprimento n possuem exatamente [n / 2] zeros? Notação: [x] denota a parte inteira de x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos sequências binárias, ou seja, sequências que só podem ter 0 ou 1, e o comprimento dessas sequências é n. A pergunta é: quantas dessas sequências têm exatamente a parte inteira de n/2 zeros? Para resolver isso, vamos precisar usar combinatória, especificamente combinação para contar de quantas maneiras podemos escolher posições para os zeros na sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência binária de comprimento n tem 2^n possibilidades no total, já que cada posição pode ser 0 ou 1. Mas queremos apenas aquelas sequências que têm exatamente k = [n/2] zeros. A parte inteira de n/2 significa que, se n for par, é n/2, e se for ímpar, é o número inteiro menor que n/2.

Passo 3

Agora, para encontrar o número de sequências com exatamente k zeros, precisamos escolher k posições entre as n disponíveis para colocar os zeros. As demais posições serão automaticamente preenchidas com 1. A contagem de maneiras de escolher k posições de n é dada pela combinação de n elementos tomados k a k, que é representada por:
binomnk

Passo 4

A fórmula da combinação é:
binomnk = n!k! cdot (n - k)!
Onde n! é o fatorial de n, que é o produto de todos os inteiros de 1 até n.

Resposta

Portanto, o número de sequências binárias de comprimento n que possuem exatamente [n/2] zeros é dado por:
binomn[n/2]

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