© Quantas sequências binárias de comprimento
possuem exatamente
zeros? Notação:
denota a parte inteira de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos sequências binárias, ou seja, sequências que só podem ter 0 ou 1, e o comprimento dessas sequências é
. A pergunta é: quantas dessas sequências têm exatamente a parte inteira de
zeros? Para resolver isso, vamos precisar usar combinatória, especificamente combinação para contar de quantas maneiras podemos escolher posições para os zeros na sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência binária de comprimento
tem
possibilidades no total, já que cada posição pode ser 0 ou 1. Mas queremos apenas aquelas sequências que têm exatamente
zeros. A parte inteira de
significa que, se
for par, é
, e se for ímpar, é o número inteiro menor que
.
Passo 3
Agora, para encontrar o número de sequências com exatamente
zeros, precisamos escolher
posições entre as
disponíveis para colocar os zeros. As demais posições serão automaticamente preenchidas com 1. A contagem de maneiras de escolher
posições de
é dada pela combinação de
elementos tomados
a
, que é representada por:
Passo 4
A fórmula da combinação é:
Onde
é o fatorial de
, que é o produto de todos os inteiros de 1 até
.
Resposta
Portanto, o número de sequências binárias de comprimento
que possuem exatamente
zeros é dado por: