Se é um diâmetro de uma esfera de centro e raio , e é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com centro em e raio . Temos dois pontos e que formam um diâmetro da esfera, ou seja, a distância entre e é . Além disso, tem um terceiro ponto na superfície da esfera. O nosso objetivo aqui é mostrar, usando vetores, que o triângulo formado pelos pontos , e é um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os pontos , e por vetores em relação ao centro da esfera. Como é o centro, podemos dizer que:
Sabemos que é um diâmetro, então:
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Portanto:

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores que correspondem aos lados do triângulo . Precisamos dos vetores e . Lembrando que:

Passo 4

Para mostrar que o triângulo é retângulo, precisamos provar que o ângulo em é reto. Uma forma de fazer isso é mostrar que os vetores e são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno entre eles for zero. Vamos calcular o produto interno de e :
Simplificando:
Sabemos que e são vetores de raio da esfera, então:
Portanto:
Como o produto interno é zero, os vetores e são perpendiculares.

Resposta

Concluímos que o triângulo é um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado no ponto .

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(b) e