Se A B é um diâmetro de uma esfera de centro O e raio r, e P é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que A P B é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com centro em O e raio r. Temos dois pontos A e B que formam um diâmetro da esfera, ou seja, a distância entre A e B é . Além disso, tem um terceiro ponto P na superfície da esfera. O nosso objetivo aqui é mostrar, usando vetores, que o triângulo formado pelos pontos A, P e B é um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os pontos A, B e P por vetores em relação ao centro O da esfera. Como O é o centro, podemos dizer que:
Sabemos que é um diâmetro, então:
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Portanto:

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores que correspondem aos lados do triângulo . Precisamos dos vetores e . Lembrando que:

Passo 4

Para mostrar que o triângulo é retângulo, precisamos provar que o ângulo em P é reto. Uma forma de fazer isso é mostrar que os vetores e são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno entre eles for zero. Vamos calcular o produto interno de e :
Simplificando:
Sabemos que vec(p) e a são vetores de raio da esfera, então:
Portanto:
Como o produto interno é zero, os vetores e são perpendiculares.

Resposta

Concluímos que o triângulo é um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado no ponto P.

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