Se
é um diâmetro de uma esfera de centro
e raio
, e
é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que
é um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com centro em
e raio
. Temos dois pontos
e
que formam um diâmetro da esfera, ou seja, a distância entre
e
é
. Além disso, tem um terceiro ponto
na superfície da esfera. O nosso objetivo aqui é mostrar, usando vetores, que o triângulo formado pelos pontos
,
e
é um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os pontos
,
e
por vetores em relação ao centro
da esfera. Como
é o centro, podemos dizer que:
Sabemos que
é um diâmetro, então:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos expressar os vetores que correspondem aos lados do triângulo
. Precisamos dos vetores
e
. Lembrando que:
Passo 4
Para mostrar que o triângulo
é retângulo, precisamos provar que o ângulo em
é reto. Uma forma de fazer isso é mostrar que os vetores
e
são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno entre eles for zero. Vamos calcular o produto interno de
e
:
Simplificando:
Sabemos que
e
são vetores de raio da esfera, então:
Portanto:
Como o produto interno é zero, os vetores
e
são perpendiculares.
Resposta
Concluímos que o triângulo
é um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado no ponto
.
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definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
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e
.
(b) e
(b)